Серьезные игры
Симметрия, как бы широко или узко мы ни понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство.
Герман ВЕЙЛЬ
«МАТЕМАТИК, ТАК ЖЕ КАК ХУДОЖНИК ИЛИ ПОЭТ, СОЗДАЕТ УЗОРЫ, И ЕСЛИ ЕГО УЗОРЫ БОЛЕЕ УСТОЙЧИВЫ, ТО ЛИШЬ ПОТОМУ, ЧТО ОНИ СОСТАВЛЕНЫ ИЗ ИДЕЙ» — в книге «Апология математики», изданной в Кембридже, эти слова не относятся, конечно, к такой малой частности, как геометрические мозаики. Но, право же, и в этих узорах есть своя идея, не лишенная ни красоты, ни глубины. В сущности, мы живем среди мозаик. Кирпичная кладка домов, паркет в них, стены в ванной комнате — все это они: одни и те же фигуры раз за разом повторяют сами себя — одна к одной, сплошняком. Гравюры М. К. Эсхера «Всадники», «Лебеди», «Восемь голов», «Мозаика II», а также многие другие из его работ тоже представляют собой плоскость, полностью, без «зазоров» покрытую фигурами, которые в то же время не налезают друг на друга. Это и есть то, что геометр назовет мозаикой. А с точки зрения портного или обувщика, математическая мозаика — это выкройка без потерь. Впрочем, мозаичный узор — еще и искусство. Оно достигло наивысшего расцвета семь веков назад в Испании. Правда, мавры не могли заполнять свои плоскости изображениями зверей или птиц, а тем более человека — коран, в ином, правда, смысле, чем библия, но тоже запрещает «сотворять себе кумира», и потому дивная стенная роспись Альгамбры, дворца арабских султанов в Гренаде, — это мозаика из абстрактных фигур. Но это как раз то, что нас сейчас интересует!
«МАТЕМАТИКИ — ВРОДЕ ФРАНЦУЗОВ: КОГДА ГОВОРИШЬ С НИМИ, ОНИ ПЕРЕВОДЯТ ТВОИ СЛОВА НА СВОЙ ЯЗЫК И СРАЗУ ПОЛУЧАЕТСЯ ЧТО-ТО СОВСЕМ ДРУГОЕ» — в шутке Гете много смысла. Да, математик вкладывает свою идею в прекрасное искусство мавров. Его даже радует, что в коране есть запрещение изображать живых тварей. Ближе всего его сердцу узоры, составленные из одинаковых правильных многоугольников, — правильные математические мозаики.
А какие они могут быть? Первое, что приходит в голову, — правильная четырехугольная квадратная мозаика, порождение ограниченности нашей нынешней строительной эстетики, преследующая нас дома и на улице. Какие еще мозаики могут встретиться нам в этом мире? «Треугольная», — скажете вы, — и не ошибетесь: равносторонний треугольник заполнит собою всю плоскость. Двуугольных фигур не бывает, и потому следующий претендент на роль мозаичного кирпича — ...?
«Правильный пятиугольник!» — возможно, скажете вы, — и ошибетесь!
Правильные пятиугольники не смогут встретиться в одной вершине — втроем они не сомкнутся вокруг нее, а вчетвером — налезут друг на друга. Следующий испытуемый — правильный шестиугольник. Тут все в порядке: угол между любыми двумя сторонами равен 120 градусам, значит, три их как раз и образуют 360. Такая мозаика — она называется гексагональной — часто встречается в природе. Это пчелиные соты или, например, поверхность жидкости, подвергнутой высокочастотной вибрации, — такую мозаику можно «остановить» с помощью стробоскопа.
Но шестиугольная мозаика — последняя наша удача. Право на праведную геометрическую жизнь имеют мозаики только трех типов: {4,4}, {3,6} и {6,3}. Это опять символы Шлефли, и они по-прежнему означают, что в вершине мозаики могут сойтись либо четыре четырехугольника, либо шесть треугольников, либо, наконец, три шестиугольника — и никаких иных правильных многоугольников. Все эти мозаики, переходящие, благодаря воображению художника, одна в другую, вы увидите на гравюре Эсхера «Метаморфозы II».
Две последние мозаики очень похожи друг на друга, хотя внешне у них все вроде бы наоборот: вершины одной служат центрами граней другой. Символы их {3,6} и {6,3} совсем не случайно симметричны, и не случайно треугольная и гексагональная мозаики называются двойственными. Про квадратную же мозаику {4,4} приходится сказать, что она двойственна сама себе.