Серьезные игры
Симметрия, как бы широко или узко мы ни понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство.
Герман ВЕЙЛЬ
«МАТЕМАТИК, ТАК ЖЕ КАК ХУДОЖНИК ИЛИ ПОЭТ, СОЗДАЕТ УЗОРЫ, И ЕСЛИ ЕГО УЗОРЫ БОЛЕЕ УСТОЙЧИВЫ, ТО ЛИШЬ ПОТОМУ, ЧТО ОНИ СОСТАВЛЕНЫ ИЗ ИДЕЙ» — в книге «Апология математики», изданной в Кембридже, эти слова не относятся, конечно, к такой малой частности, как геометрические мозаики. Но, право же, и в этих узорах есть своя идея, не лишенная ни красоты, ни глубины. В сущности, мы живем среди мозаик. Кирпичная кладка домов, паркет в них, стены в ванной комнате — все это они: одни и те же фигуры раз за разом повторяют сами себя — одна к одной, сплошняком. Гравюры М. К. Эсхера «Всадники», «Лебеди», «Восемь голов», «Мозаика II», а также многие другие из его работ тоже представляют собой плоскость, полностью, без «зазоров» покрытую фигурами, которые в то же время не налезают друг на друга. Это и есть то, что геометр назовет мозаикой. А с точки зрения портного или обувщика, математическая мозаика — это выкройка без потерь. Впрочем, мозаичный узор — еще и искусство. Оно достигло наивысшего расцвета семь веков назад в Испании. Правда, мавры не могли заполнять свои плоскости изображениями зверей или птиц, а тем более человека — коран, в ином, правда, смысле, чем библия, но тоже запрещает «сотворять себе кумира», и потому дивная стенная роспись Альгамбры, дворца арабских султанов в Гренаде, — это мозаика из абстрактных фигур. Но это как раз то, что нас сейчас интересует!
«МАТЕМАТИКИ — ВРОДЕ ФРАНЦУЗОВ: КОГДА ГОВОРИШЬ С НИМИ, ОНИ ПЕРЕВОДЯТ ТВОИ СЛОВА НА СВОЙ ЯЗЫК И СРАЗУ ПОЛУЧАЕТСЯ ЧТО-ТО СОВСЕМ ДРУГОЕ» — в шутке Гете много смысла. Да, математик вкладывает свою идею в прекрасное искусство мавров. Его даже радует, что в коране есть запрещение изображать живых тварей. Ближе всего его сердцу узоры, составленные из одинаковых правильных многоугольников, — правильные математические мозаики.
А какие они могут быть? Первое, что приходит в голову, — правильная четырехугольная квадратная мозаика, порождение ограниченности нашей нынешней строительной эстетики, преследующая нас дома и на улице. Какие еще мозаики могут встретиться нам в этом мире? «Треугольная», — скажете вы, — и не ошибетесь: равносторонний треугольник заполнит собою всю плоскость. Двуугольных фигур не бывает, и потому следующий претендент на роль мозаичного кирпича — ...?
«Правильный пятиугольник!» — возможно, скажете вы, — и ошибетесь!
Правильные пятиугольники не смогут встретиться в одной вершине — втроем они не сомкнутся вокруг нее, а вчетвером — налезут друг на друга. Следующий испытуемый — правильный шестиугольник. Тут все в порядке: угол между любыми двумя сторонами равен 120 градусам, значит, три их как раз и образуют 360. Такая мозаика — она называется гексагональной — часто встречается в природе. Это пчелиные соты или, например, поверхность жидкости, подвергнутой высокочастотной вибрации, — такую мозаику можно «остановить» с помощью стробоскопа.
Но шестиугольная мозаика — последняя наша удача. Право на праведную геометрическую жизнь имеют мозаики только трех типов: {4,4}, {3,6} и {6,3}. Это опять символы Шлефли, и они по-прежнему означают, что в вершине мозаики могут сойтись либо четыре четырехугольника, либо шесть треугольников, либо, наконец, три шестиугольника — и никаких иных правильных многоугольников. Все эти мозаики, переходящие, благодаря воображению художника, одна в другую, вы увидите на гравюре Эсхера «Метаморфозы II».
Две последние мозаики очень похожи друг на друга, хотя внешне у них все вроде бы наоборот: вершины одной служат центрами граней другой. Символы их {3,6} и {6,3} совсем не случайно симметричны, и не случайно треугольная и гексагональная мозаики называются двойственными. Про квадратную же мозаику {4,4} приходится сказать, что она двойственна сама себе.
- Материалы
Поцелуй по расчету
Поэма Содди
Задача о сферах
Многомерность
Гость из четвертого измерения
Четырехмерный симплекс
Возможности нового измерения
Эксперимент Цельнера
Геометрия - это интуиция
Ущербность нашего восприятия
Объем - в плоскость
Наш плоский объемный мир
Мебиусиана
Односторонность листа Мебиуса
Топология - из листа Мебиуса
Число Бетти
Хроматический номер
Справа, где сердце
Бутылка Клейна
Мебиус и микромир
Левый и Правый Мебиусы
Эксперимент By Цзянь-сюн
Двухкомпонентная теория нейтрино
Зеркальные двойники
Роль формы
Вселенная искривляется
Тензорный анализ
Теория Вселенной Эйнштейна
Пульс Вселенной
Великолепная пятерка
О божественной пропорции
«Начала» Евклида
Доказательство Эйлера
Символы Шлефли
Гамильтонова линия
Изопиранная задача
Интуиция царицы Дидоны
Как управляется мир
Серьезные игры
Искусство орнамента
Федоровские группы
Игры Эсхера
Симметрии Эсхера
Нефедоровская кристаллография
Мировая гармония
Удавшаяся провокация
«Колючий» ёж Кеплера
Фигура Петри
Теория многогранников
Правильные и почти правильные тела
Песок расширяется!
Кубическая плотная упаковка
Плотность упаковки
Дома на песке
Тайные связи
Музыка сфер
Подкупающая простота
Модели Дончияна
Полезные политопы
Организация пространства
Радость видеть и понимать
Теории Земли
Бейсбольный мяч планеты
Катенаны
Вечный Геометр
Цепь причин и следствий
Счастливый случай
Метод Монте-Карло
Вероятностные методы
Бросаем песчинку
Сходство схем
Задачи распространения тепла
Случайные траектории
Возможности равны
Случай в игре
Игры с таблицей
Новые осложнения
Хуже-лучше
Расшифровка кодов
Роль элемента случайности
Обучение и случайность
Обучение автоматов
«Школьная» схема обучения
Обучение — самообучение
Шаблон поведения
Уметь пользоваться памятью
Опыты И. П. Павлова
Условный рефлекс
Связь между нейронами
Носитель памяти
Механизм образования условного рефлекса
Механизм «вспоминания»
Структура нервной сети
Простой эксперимент
Проблема опознания
Что такое опознание
Зрительные образы
Персептрон
Различаемые образы
Что умеет персептрон
Свойства персептрона
Залог опознания образов
Роль случайности в эволюции
К чему приводят мутации
Естественный отбор
«Безжалостность» законов природы
Приспособление вида
Схема гомеостата
Идея Эшби
Усилитель отбора
Усилитель мыслительных способностей
Схема искусственного отбора
Самонастраивающиеся системы и случайность
Непохожесть систем
Критерий близости к совершенству
Самонастраивающиеся системы
Наладчик сложных систем
Метод компенсации
Как настроить
Устройство автомата
Держим точный размер
Анализ станка-автомата
Обратное воздействие
Способ Гаусса — Зейделя
Анализ настроек
Метод градиента
Метод случайной настройки
Метод случайного поиска
Программа случайного поиска
Схема случайного поиска
Самонастраивающаяся система
Источник неограниченных возможностей