Серьезные игры

Симметрия, как бы широко или узко мы ни понимали это сло­во, есть идея, с помощью ко­торой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство.

Герман ВЕЙЛЬ

«МАТЕМАТИК, ТАК ЖЕ КАК ХУДОЖНИК ИЛИ ПОЭТ, СОЗДАЕТ УЗОРЫ, И ЕСЛИ ЕГО УЗОРЫ БОЛЕЕ УСТОЙЧИВЫ, ТО ЛИШЬ ПОТОМУ, ЧТО ОНИ СОСТАВЛЕНЫ ИЗ ИДЕЙ» — в книге «Апология матема­тики», изданной в Кембридже, эти слова не относятся, конечно, к такой малой ча­стности, как геометрические мозаики. Но, право же, и в этих узорах есть своя идея, не лишенная ни красоты, ни глубины. В сущности, мы живем среди мозаик. Кир­пичная кладка домов, паркет в них, сте­ны в ванной комнате — все это они: одни и те же фигуры раз за разом повторяют сами себя — одна к одной, сплошняком. Гравюры М. К. Эсхера «Всадники», «Ле­беди», «Восемь голов», «Мозаика II», а также многие другие из его работ тоже представляют собой плоскость, полно­стью, без «зазоров» покрытую фигура­ми, которые в то же время не налезают друг на друга. Это и есть то, что геометр назовет мозаикой. А с точки зрения пор­тного или обувщика, математическая мо­заика — это выкройка без потерь. Впро­чем, мозаичный узор — еще и искусство. Оно достигло наивысшего расцвета семь веков назад в Испании. Правда, мавры не могли заполнять свои плоскости изображениями зве­рей или птиц, а тем более человека — коран, в ином, правда, смысле, чем библия, но тоже запрещает «сотворять себе кумира», и потому дивная стенная роспись Альгамбры, дворца арабских султанов в Гренаде, — это мозаика из абстрактных фигур. Но это как раз то, что нас сейчас интересует!

«МАТЕМАТИКИ — ВРОДЕ ФРАНЦУЗОВ: КОГДА ГОВО­РИШЬ С НИМИ, ОНИ ПЕРЕВОДЯТ ТВОИ СЛОВА НА СВОЙ ЯЗЫК И СРАЗУ ПОЛУЧАЕТСЯ ЧТО-ТО СОВСЕМ ДРУ­ГОЕ» — в шутке Гете много смысла. Да, математик вкла­дывает свою идею в прекрасное искусство мавров. Его даже радует, что в коране есть запрещение изображать живых тварей. Ближе всего его сердцу узоры, составлен­ные из одинаковых правильных многоугольников, — пра­вильные математические мозаики.

А какие они могут быть? Первое, что приходит в го­лову, — правильная четырехугольная квадратная мозаи­ка, порождение ограниченности нашей нынешней строи­тельной эстетики, преследующая нас дома и на улице. Какие еще мозаики могут встретиться нам в этом мире? «Треугольная», — скажете вы, — и не ошибетесь: рав­носторонний треугольник заполнит собою всю плоскость. Двуугольных фигур не бывает, и потому следующий пре­тендент на роль мозаичного кирпича — ...?

«Правильный пятиугольник!» — возможно, скажете вы, — и ошибетесь!

Правильные пятиугольники не смогут встретиться в одной вершине — втроем они не сомкнутся вокруг нее, а вчетвером — налезут друг на друга. Следующий испы­туемый — правильный шестиугольник. Тут все в порядке: угол между любыми двумя сторонами равен 120 граду­сам, значит, три их как раз и образуют 360. Такая мозаи­ка — она называется гексагональной — часто встречается в природе. Это пчелиные соты или, например, по­верхность жидкости, подвергнутой высокочастотной виб­рации, — такую мозаику можно «остановить» с помощью стробоскопа.

Но шестиугольная мозаика — последняя наша удача. Право на праведную геометрическую жизнь имеют мозаики только трех типов: {4,4}, {3,6} и {6,3}. Это опять символы Шлефли, и они по-прежнему означают, что в вершине мозаики могут сойтись либо четыре четырех­угольника, либо шесть треугольников, либо, наконец, три шестиугольника — и никаких иных правильных много­угольников. Все эти мозаики, переходящие, благодаря воображению художника, одна в другую, вы увидите на гравюре Эсхера «Метаморфозы II».

Две последние мозаики очень похожи друг на друга, хотя внешне у них все вроде бы наоборот: вершины од­ной служат центрами граней другой. Символы их {3,6} и {6,3} совсем не случайно симметричны, и не слу­чайно треугольная и гексагональная мозаики называются двойственными. Про квадратную же мозаику {4,4} прихо­дится сказать, что она двойственна сама себе.







Материалы

Яндекс.Метрика