О божественной пропорции
«РАЗЛИЧНЫЕ ВЕТВИ ГЕОМЕТРИИ НАХОДЯТСЯ В ТЕСНЫХ И ЧАСТО НЕОЖИДАННЫХ ВЗАИМООТНОШЕНИЯХ ДРУГ С ДРУГОМ», — этими словами Давид Гильберт предваряет одну из своих книг. Любой, в том числе и этот рассказ о геометрии служит подтверждением их правдивости.
Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева каркасные модели многогранников. Когда его друг фра Лука Пачоли издал в 1509 году в Венеции книгу «О божественной пропорции», иллюстрациями к ней послужили пятьдесят девять рисунков, сделанных Леонардо со своих моделей. Шесть из них есть в этой книге — вы найдете их на ее первой странице и на рисунке. (Впрочем, Пачоли не остался в долгу: он подсчитал для великого скульптора количество металла, потребного для изготовления статуи всадника, — задача по тем временам нешуточная.)
Что же божественного нашел в простых геометрических фигурах Лука Пачоли — человек, живший спустя два тысячелетия после Платона? Или это отзвук, прошедший через века и народы, приписываемой ему Плутархом крылатой фразы: «Бог всегда действует геометрически»?
Нет, фра Лука — монах Пачоли — мыслил реалистичнее: бог — геометр не всегда, но в некоторых случаях. А именно когда речь идет о «золотом сечении» — о таком делении отрезка на две неравные части, чтобы отношение большей части к меньшей равнялось отношению всего отрезка к большей его части. Завяжите простым узлом узкую полоску бумаги и осторожно распрямите его. Вы получите правильный пятиугольник, а его диагонали как раз и делят друг друга «в среднем и крайнем отношении» — так еще по-другому называют «золотое сечение». Пачоли нашел, что есть тринадцать «эффектов» этой божественной пропорции — «ради нашего спасения», как утверждал он. Он искал эти «божественные эффекты» в самых совершенных созданиях математики — пяти Платоновых телах, строил их из стеклянных плиток, а затем раздавал «для коллекций разных вельмож». В главе «О двенадцатом, почти сверхъестественном свойстве» речь идет о правильном икосаэдре — платоновом теле, ограниченном двадцатью правильными треугольниками.
Вглядитесь повнимательнее в эту древнейшую игральную кость. К каждой вершине сбегаются пять треугольников, свободные стороны которых образуют уже знакомый нам правильный пятиугольник. Если же соединить между собой любые два противоположные ребра икосаэдра, то получится прямоугольник, тоже имеющий прямое отношение к божественной пропорции, — его большая сторона так относится к меньшей, как сумма сторон — к большей. И именно икосаэдр связан с математической знаменитостью — проблемой «целующихся сфер», которая возникла в споре Исаака Ньютона с оксфордским астрономом Дэвидом Грегори.