Число Бетти
«СОТРИ СЛУЧАЙНЫЕ ЧЕРТЫ, И ТЫ УВИДИШЬ — МИР ПРЕКРАСЕН», — писал Александр Блок. Тополог всегда готов внять подобному призыву — во всех окружающих его предметах он ищет некие важные только ему одному качества. Например, непрерывность. Это еще одно топологическое свойство. Если вы сравните схему самолетных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан — скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И все-таки что-то общее между географической картой и топологической схемой (а транспортники — бессознательные топологи) есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск — с Владивостоком. И потому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А значит, с топологической точки зрения, круг не отличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность. Взгляните с этой точки зрения на нашего старого знакомца и увидите: на листе Мебиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. И при этом муравью на гравюре Эсхера ни разу не придется переползать через край «ленты». Разрывов нет — непрерывность полная.
Но куда интереснее другое свойство — связность. Если квадрат полоснуть бритвой от стороны к стороне, то он, естественно, распадается на два отдельных куска. Точно так же любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придется резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. А телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он все останется единым целым. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат и ромашка — односвязны, кольцо и оправа от очков — двусвязны, а всяческие решетки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры — многосвязны. Ну, а наш лист Мебиуса? Конечно, двусвязен, ведь фокус в том и состоял, что, будучи разрезан вдоль, он превращался не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Впрочем, и на этом тоже были построены фокусы, если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота — помните ленту, завязавшую саму себя в узел? — связность снова равна двум. А четыре оборота? Да вы, верно, уже догадались, как дальше станут развиваться события.
Связность принято оценивать числом Бетти. Его ввел в математический обиход Бернгард Риман и назвал в честь своего друга, итальянского математика и физика, который в виде своеобразной благодарности написал работу «О пространствах произвольного числа измерения» и в ней продолжил исследования Римана. Иногда пользуются другой величиной — эйлеровой характеристикой — с той же целью: определить число сквозных, от края и до края, разрезов, которое выдерживает фигура, не распадаясь при этом на части.