Число Бетти
«СОТРИ СЛУЧАЙНЫЕ ЧЕРТЫ, И ТЫ УВИДИШЬ — МИР ПРЕКРАСЕН», — писал Александр Блок. Тополог всегда готов внять подобному призыву — во всех окружающих его предметах он ищет некие важные только ему одному качества. Например, непрерывность. Это еще одно топологическое свойство. Если вы сравните схему самолетных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан — скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И все-таки что-то общее между географической картой и топологической схемой (а транспортники — бессознательные топологи) есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск — с Владивостоком. И потому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А значит, с топологической точки зрения, круг не отличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность. Взгляните с этой точки зрения на нашего старого знакомца и увидите: на листе Мебиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. И при этом муравью на гравюре Эсхера ни разу не придется переползать через край «ленты». Разрывов нет — непрерывность полная.
Но куда интереснее другое свойство — связность. Если квадрат полоснуть бритвой от стороны к стороне, то он, естественно, распадается на два отдельных куска. Точно так же любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придется резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. А телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он все останется единым целым. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат и ромашка — односвязны, кольцо и оправа от очков — двусвязны, а всяческие решетки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры — многосвязны. Ну, а наш лист Мебиуса? Конечно, двусвязен, ведь фокус в том и состоял, что, будучи разрезан вдоль, он превращался не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Впрочем, и на этом тоже были построены фокусы, если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота — помните ленту, завязавшую саму себя в узел? — связность снова равна двум. А четыре оборота? Да вы, верно, уже догадались, как дальше станут развиваться события.
Связность принято оценивать числом Бетти. Его ввел в математический обиход Бернгард Риман и назвал в честь своего друга, итальянского математика и физика, который в виде своеобразной благодарности написал работу «О пространствах произвольного числа измерения» и в ней продолжил исследования Римана. Иногда пользуются другой величиной — эйлеровой характеристикой — с той же целью: определить число сквозных, от края и до края, разрезов, которое выдерживает фигура, не распадаясь при этом на части.
- Материалы
Поцелуй по расчету
Поэма Содди
Задача о сферах
Многомерность
Гость из четвертого измерения
Четырехмерный симплекс
Возможности нового измерения
Эксперимент Цельнера
Геометрия - это интуиция
Ущербность нашего восприятия
Объем - в плоскость
Наш плоский объемный мир
Мебиусиана
Односторонность листа Мебиуса
Топология - из листа Мебиуса
Число Бетти
Хроматический номер
Справа, где сердце
Бутылка Клейна
Мебиус и микромир
Левый и Правый Мебиусы
Эксперимент By Цзянь-сюн
Двухкомпонентная теория нейтрино
Зеркальные двойники
Роль формы
Вселенная искривляется
Тензорный анализ
Теория Вселенной Эйнштейна
Пульс Вселенной
Великолепная пятерка
О божественной пропорции
«Начала» Евклида
Доказательство Эйлера
Символы Шлефли
Гамильтонова линия
Изопиранная задача
Интуиция царицы Дидоны
Как управляется мир
Серьезные игры
Искусство орнамента
Федоровские группы
Игры Эсхера
Симметрии Эсхера
Нефедоровская кристаллография
Мировая гармония
Удавшаяся провокация
«Колючий» ёж Кеплера
Фигура Петри
Теория многогранников
Правильные и почти правильные тела
Песок расширяется!
Кубическая плотная упаковка
Плотность упаковки
Дома на песке
Тайные связи
Музыка сфер
Подкупающая простота
Модели Дончияна
Полезные политопы
Организация пространства
Радость видеть и понимать
Теории Земли
Бейсбольный мяч планеты
Катенаны
Вечный Геометр