Число Бетти

«СОТРИ СЛУЧАЙНЫЕ ЧЕРТЫ, И ТЫ УВИДИШЬ — МИР ПРЕКРАСЕН», — писал Александр Блок. Тополог всегда готов внять подобному призыву — во всех окружающих его предметах он ищет некие важные только ему одному качества. Например, непрерывность. Это еще одно топо­логическое свойство. Если вы сравните схему самолет­ных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан — ска­жем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И все-таки что-то общее между геог­рафической картой и топологической схемой (а тран­спортники — бессознательные топологи) есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск — с Владивостоком. И потому тополог может как угодно де­формировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие сосе­дями, оставались одна подле другой и дальше. А значит, с топологической точки зрения, круг не отличим от квад­рата или треугольника, потому что их легко преобразо­вать один в другой, не нарушая непрерывность. Взгляните с этой точки зрения на нашего старого знакомца и уви­дите: на листе Мебиуса любая точка может быть соеди­нена с любой другой точкой. И при этом муравью на гра­вюре Эсхера ни разу не придется переползать через край «ленты». Разрывов нет — непрерывность полная.

Но куда интереснее другое свойство — связность. Ес­ли квадрат полоснуть бритвой от стороны к стороне, то он, естественно, распадается на два отдельных куска. Точно так же любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придется резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. А телефонный диск мож­но десять раз рассечь ножом от одной замкнутой кри­вой до другой, а он все останется единым целым. Поэто­му любой тополог скажет вам, что квадрат и ромашка — односвязны, кольцо и оправа от очков — двусвязны, а всяческие решетки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры — многосвязны. Ну, а наш лист Мебиу­са? Конечно, двусвязен, ведь фокус в том и состоял, что, будучи разрезан вдоль, он превращался не в два отдель­ных кольца, а в одну целую ленту. Впрочем, и на этом тоже были построены фокусы, если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборо­та — помните ленту, завязавшую саму себя в узел? — связность снова равна двум. А четыре оборота? Да вы, верно, уже догадались, как дальше станут развиваться события.

Связность принято оценивать числом Бетти. Его ввел в математический обиход Бернгард Риман и назвал в честь своего друга, итальянского математика и физика, кото­рый в виде своеобразной благодарности написал работу «О пространствах произвольного числа измерения» и в ней продолжил исследования Римана. Иногда пользуются другой величиной — эйлеровой характеристикой — с той же целью: определить число сквозных, от края и до края, разрезов, которое выдерживает фигура, не распадаясь при этом на части.


купить участок в подмосковье у воды




Материалы

Яндекс.Метрика