Доказательство Эйлера
В «Математической смеси», переведенной на русский язык книге Литлвуда, есть такая миниатюра:
«Один слишком навязчивый аспирант довел своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65 537 сторонами. Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением». Это не совсем анекдот: некто О. Гермес действительно потратил десять лет на такой бессмысленный труд. Рукопись его, заключенная в большой ящик, до сих пор хранится в Геттингенском университете — памятником титанической усидчивости.
Счастье, что руководитель остановился на пятом простом числе Ферма. Возьми он шестое (а вычислить его не так уж трудно: 2 25 +1 =2 32 +1 =4294967297), бедняга аспирант до конца своих дней не оторвался бы от чертежей. И дело не в гигантской величине числа сторон. Оказалось, что Ферма ошибался: «шестое простое число Ферма» не простое, а составное: оно разлагается на множители.
Доказать это удалось Леонарду Эйлеру.
«ЭЙЛЕР... НЕ ПРОГЛЯДЕЛ НИЧЕГО В СОВРЕМЕННОЙ ЕМУ МАТЕМАТИКЕ, ХОТЯ ПОСЛЕДНИЕ 17 ЛЕТ СВОЕЙ ЖИЗНИ ОН БЫЛ СОВЕРШЕННО СЛЕПЫМ», — писал один известный историк математики. Не проглядел Эйлер и проблемы многогранников. Если бы Евклид и в самом деле хотел написать многотомное сочинение о Платоно вых телах, он все равно не мог бы сделать этого, не зная формулы Эйлера, с которой мы уже встречались. А ведь она даже проще, чем знаменитый «Понс асинорум» — «Мост для ослов», не преодолев который, нельзя, по мнению Евклида, считать себя разумным человеком (перейдите ради самоутверждения через него и вы — докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны)! «Некоторые из его простейших открытий таковы, — писал про Эйлера Г.С.М. Коксетер, один из крупнейших современных геометров, — что можно представить себе дух Евклида, вопрошающий: «Почему при жизни на Земле я не додумался до этого?» Но когда слышишь именно эту формулу, то досада «почему не я?!» невольно берет любого. Послушайте:
«В любом простом выпуклом многограннике число вершин плюс число граней и минус число ребер равно двум».
Проверьте (еще раз):
на тетраэдре, кубе, октаэдре, на любой фигуре, которую способно измыслить ваше воображение, — с прямо- или криволинейными ребрами, с какими угодно гранями (только без «дыр» — это и значит «простой» многогранник).
Убедитесь (окончательно):
Формула Эйлера B +Г-Р=2 справедлива в любом случае.
Эта прославленная формула не связана, как мы имели случай увериться, ни с расстояниями, ни с углами, она предельно наглядна. Она буквально видна — в прозрачном воздухе геометрического сада. Но эта простота и наглядность — отражение фундаментальных свойств нашего трехмерного пространства: фигуре, не подчинившейся формуле Эйлера, в нем нет места. Именно из-за своей фундаментальности формула эта стала основой для целых двух математических дисциплин — топологии и теории графов.
Заставим же ее поработать и на нас — выясним, наконец, почему Платоновых тел пять, а не три или восемь.