Доказательство Эйлера

В «Математической смеси», переведенной на русский язык книге Литлвуда, есть такая миниатюра:

«Один слишком навязчивый аспирант довел своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного много­угольника с 65 537 сторонами. Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построени­ем». Это не совсем анекдот: некто О. Гермес действи­тельно потратил десять лет на такой бессмысленный труд. Рукопись его, заключенная в большой ящик, до сих пор хранится в Геттингенском университете — памятником титанической усидчивости.

Счастье, что руководитель остановился на пятом про­стом числе Ферма. Возьми он шестое (а вычислить его не так уж трудно: 2 25 +1 =2 32 +1 =4294967297), бедня­га аспирант до конца своих дней не оторвался бы от чер­тежей. И дело не в гигантской величине числа сторон. Оказалось, что Ферма ошибался: «шестое простое чис­ло Ферма» не простое, а составное: оно разлагается на множители.

Доказать это удалось Леонарду Эйлеру.

«ЭЙЛЕР... НЕ ПРОГЛЯДЕЛ НИЧЕГО В СОВРЕМЕННОЙ ЕМУ МАТЕМАТИКЕ, ХОТЯ ПОСЛЕДНИЕ 17 ЛЕТ СВОЕЙ ЖИЗНИ ОН БЫЛ СОВЕРШЕННО СЛЕПЫМ», — писал один известный историк математики. Не проглядел Эйлер и проблемы многогранников. Если бы Евклид и в самом деле хотел написать многотомное сочинение о Платоно­ вых телах, он все равно не мог бы сделать этого, не зная формулы Эйлера, с которой мы уже встречались. А ведь она даже проще, чем знаменитый «Понс асинорум» — «Мост для ослов», не преодолев который, нельзя, по мнению Евклида, считать себя разумным человеком (пе­рейдите ради самоутверждения через него и вы — докажи­те, что углы при основании равнобедренного треуголь­ника равны)! «Некоторые из его простейших открытий таковы, — писал про Эйлера Г.С.М. Коксетер, один из круп­нейших современных геометров, — что можно предста­вить себе дух Евклида, вопрошающий: «Почему при жиз­ни на Земле я не додумался до этого?» Но когда слы­шишь именно эту формулу, то досада «почему не я?!» невольно берет любого. Послушайте:

«В любом простом выпуклом многограннике число вершин плюс число граней и минус число ребер равно двум».

Проверьте (еще раз):

на тетраэдре, кубе, октаэдре, на любой фигуре, кото­рую способно измыслить ваше воображение, — с прямо- или криволинейными ребрами, с какими угодно гранями (только без «дыр» — это и значит «простой» многогран­ник).

Убедитесь (окончательно):

Формула Эйлера B +Г-Р=2 справедлива в любом случае.

Эта прославленная формула не связана, как мы име­ли случай увериться, ни с расстояниями, ни с углами, она предельно наглядна. Она буквально видна — в прозрачном воздухе геометрического сада. Но эта простота и на­глядность — отражение фундаментальных свойств наше­го трехмерного пространства: фигуре, не подчинившейся формуле Эйлера, в нем нет места. Именно из-за своей фундаментальности формула эта стала основой для це­лых двух математических дисциплин — топологии и тео­рии графов.

Заставим же ее поработать и на нас — выясним, нако­нец, почему Платоновых тел пять, а не три или восемь.


bosch appliance repair los angeles




Материалы

Яндекс.Метрика