Доказательство Эйлера
В «Математической смеси», переведенной на русский язык книге Литлвуда, есть такая миниатюра:
«Один слишком навязчивый аспирант довел своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65 537 сторонами. Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением». Это не совсем анекдот: некто О. Гермес действительно потратил десять лет на такой бессмысленный труд. Рукопись его, заключенная в большой ящик, до сих пор хранится в Геттингенском университете — памятником титанической усидчивости.
Счастье, что руководитель остановился на пятом простом числе Ферма. Возьми он шестое (а вычислить его не так уж трудно: 2 25 +1 =2 32 +1 =4294967297), бедняга аспирант до конца своих дней не оторвался бы от чертежей. И дело не в гигантской величине числа сторон. Оказалось, что Ферма ошибался: «шестое простое число Ферма» не простое, а составное: оно разлагается на множители.
Доказать это удалось Леонарду Эйлеру.
«ЭЙЛЕР... НЕ ПРОГЛЯДЕЛ НИЧЕГО В СОВРЕМЕННОЙ ЕМУ МАТЕМАТИКЕ, ХОТЯ ПОСЛЕДНИЕ 17 ЛЕТ СВОЕЙ ЖИЗНИ ОН БЫЛ СОВЕРШЕННО СЛЕПЫМ», — писал один известный историк математики. Не проглядел Эйлер и проблемы многогранников. Если бы Евклид и в самом деле хотел написать многотомное сочинение о Платоно вых телах, он все равно не мог бы сделать этого, не зная формулы Эйлера, с которой мы уже встречались. А ведь она даже проще, чем знаменитый «Понс асинорум» — «Мост для ослов», не преодолев который, нельзя, по мнению Евклида, считать себя разумным человеком (перейдите ради самоутверждения через него и вы — докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны)! «Некоторые из его простейших открытий таковы, — писал про Эйлера Г.С.М. Коксетер, один из крупнейших современных геометров, — что можно представить себе дух Евклида, вопрошающий: «Почему при жизни на Земле я не додумался до этого?» Но когда слышишь именно эту формулу, то досада «почему не я?!» невольно берет любого. Послушайте:
«В любом простом выпуклом многограннике число вершин плюс число граней и минус число ребер равно двум».
Проверьте (еще раз):
на тетраэдре, кубе, октаэдре, на любой фигуре, которую способно измыслить ваше воображение, — с прямо- или криволинейными ребрами, с какими угодно гранями (только без «дыр» — это и значит «простой» многогранник).
Убедитесь (окончательно):
Формула Эйлера B +Г-Р=2 справедлива в любом случае.
Эта прославленная формула не связана, как мы имели случай увериться, ни с расстояниями, ни с углами, она предельно наглядна. Она буквально видна — в прозрачном воздухе геометрического сада. Но эта простота и наглядность — отражение фундаментальных свойств нашего трехмерного пространства: фигуре, не подчинившейся формуле Эйлера, в нем нет места. Именно из-за своей фундаментальности формула эта стала основой для целых двух математических дисциплин — топологии и теории графов.
Заставим же ее поработать и на нас — выясним, наконец, почему Платоновых тел пять, а не три или восемь.
- Материалы
Поцелуй по расчету
Поэма Содди
Задача о сферах
Многомерность
Гость из четвертого измерения
Четырехмерный симплекс
Возможности нового измерения
Эксперимент Цельнера
Геометрия - это интуиция
Ущербность нашего восприятия
Объем - в плоскость
Наш плоский объемный мир
Мебиусиана
Односторонность листа Мебиуса
Топология - из листа Мебиуса
Число Бетти
Хроматический номер
Справа, где сердце
Бутылка Клейна
Мебиус и микромир
Левый и Правый Мебиусы
Эксперимент By Цзянь-сюн
Двухкомпонентная теория нейтрино
Зеркальные двойники
Роль формы
Вселенная искривляется
Тензорный анализ
Теория Вселенной Эйнштейна
Пульс Вселенной
Великолепная пятерка
О божественной пропорции
«Начала» Евклида
Доказательство Эйлера
Символы Шлефли
Гамильтонова линия
Изопиранная задача
Интуиция царицы Дидоны
Как управляется мир
Серьезные игры
Искусство орнамента
Федоровские группы
Игры Эсхера
Симметрии Эсхера
Нефедоровская кристаллография
Мировая гармония
Удавшаяся провокация
«Колючий» ёж Кеплера
Фигура Петри
Теория многогранников
Правильные и почти правильные тела
Песок расширяется!
Кубическая плотная упаковка
Плотность упаковки
Дома на песке
Тайные связи
Музыка сфер
Подкупающая простота
Модели Дончияна
Полезные политопы
Организация пространства
Радость видеть и понимать
Теории Земли
Бейсбольный мяч планеты
Катенаны
Вечный Геометр