Символы Шлефли

«В ГЕОМЕТРИЮ НЕТ ЦАРСКОГО ПУТИ!» — услышал Пто­лемей I, когда потребовал, чтобы Евклид обучил его сво­ей науке как-нибудь побыстрее. А уж в наше демократи­ческое время и вовсе нет иного способа понять некото­рые геометрические вещи, кроме пристального размыш­ления над ними. В этом и обьяснение, и оправдание тех крайне, впрочем, простых формул, к которым нам при­дется прибегнуть, чтобы ответить на только что постав­ленный вопрос. «Понимание математики не приобрета­ется только безболезненно развлекательными способа­ми», — писал Рихард Курант, крупный американский уче­ный, иностранный член нашей Академии наук, эмигриро­вавший в Америку из Германии, когда там к власти при­шел Гитлер.

Правильный многогранник тем и правилен, что каж­дая грань его правильный p -угольник и в каждой верши­не сходится одно и то же число q таких граней. (Матема­тики обозначают это обстоятельство символом Шлефли — {р, q }.) Отсюда следует, что число всех ребер, ко­торые составляют «каркас» Платонова тела (иными сло­вами, число планок, которые пришлось заготовить Лео­нардо да Винчи для каждой из своих моделей), можно подсчитать двояким путем. Оно равно произведению чис­ла всех вершин на число сходящихся к каждой из них ребер q , поделенному пополам, — ведь при таком под­счете мы каждое ребро учитываем дважды, по одному разу каждый его конец. Но, с другой стороны, те же ребра можно пересчитать платонову телу и по-другому, помножив число его граней на число сторон каждой гра­ни р и опять — по той же причине — разделив эту цифру на два. Если подставить теперь полученные соотношения в формулу Эйлера и несколько поразмыслить над полу­чившимся результатом, то мы как раз и докажем ут­верждение Евклида: Платоновыми телами могут быть лишь многогранники, символы Шлефли, которых — {3,3}; {4,3}; {3,4}; {5,3} и {3,5}. Итого — пять! Четыре из них Мауриц Эсхер соединил в удивительную конструкцию, внутреннюю часть которой составляет куб с прошед­шим сквозь него октаэдром, а наружная «оболочка» — это взаимопроникшие икосаэдр (светлые треугольные грани) и додекаэдр (его грани более темные, пятиуголь­ные). Называется эта конструкция «Стереометрические фигуры». Отсутствующий на ней тетраэдр художник изо­бразил на гравюре «Двойной планетоид». Там их даже целых два: один прошел сквозь другой, причем первый «цивилизован», а второй остался в первозданном, диком виде.







Материалы

Яндекс.Метрика