Символы Шлефли
«В ГЕОМЕТРИЮ НЕТ ЦАРСКОГО ПУТИ!» — услышал Птолемей I, когда потребовал, чтобы Евклид обучил его своей науке как-нибудь побыстрее. А уж в наше демократическое время и вовсе нет иного способа понять некоторые геометрические вещи, кроме пристального размышления над ними. В этом и обьяснение, и оправдание тех крайне, впрочем, простых формул, к которым нам придется прибегнуть, чтобы ответить на только что поставленный вопрос. «Понимание математики не приобретается только безболезненно развлекательными способами», — писал Рихард Курант, крупный американский ученый, иностранный член нашей Академии наук, эмигрировавший в Америку из Германии, когда там к власти пришел Гитлер.
Правильный многогранник тем и правилен, что каждая грань его правильный p -угольник и в каждой вершине сходится одно и то же число q таких граней. (Математики обозначают это обстоятельство символом Шлефли — {р, q }.) Отсюда следует, что число всех ребер, которые составляют «каркас» Платонова тела (иными словами, число планок, которые пришлось заготовить Леонардо да Винчи для каждой из своих моделей), можно подсчитать двояким путем. Оно равно произведению числа всех вершин на число сходящихся к каждой из них ребер q , поделенному пополам, — ведь при таком подсчете мы каждое ребро учитываем дважды, по одному разу каждый его конец. Но, с другой стороны, те же ребра можно пересчитать платонову телу и по-другому, помножив число его граней на число сторон каждой грани р и опять — по той же причине — разделив эту цифру на два. Если подставить теперь полученные соотношения в формулу Эйлера и несколько поразмыслить над получившимся результатом, то мы как раз и докажем утверждение Евклида: Платоновыми телами могут быть лишь многогранники, символы Шлефли, которых — {3,3}; {4,3}; {3,4}; {5,3} и {3,5}. Итого — пять! Четыре из них Мауриц Эсхер соединил в удивительную конструкцию, внутреннюю часть которой составляет куб с прошедшим сквозь него октаэдром, а наружная «оболочка» — это взаимопроникшие икосаэдр (светлые треугольные грани) и додекаэдр (его грани более темные, пятиугольные). Называется эта конструкция «Стереометрические фигуры». Отсутствующий на ней тетраэдр художник изобразил на гравюре «Двойной планетоид». Там их даже целых два: один прошел сквозь другой, причем первый «цивилизован», а второй остался в первозданном, диком виде.