Четырехмерный симплекс

Еще один гость из иных миров носит имя «четырехмерный симплекс». Симплекс — это простейшая из всех возможных фигур. Добавляя каждый раз всего по одной точке, мы пробегаем по ступеням лестницы размерностей. Одна точка — это нульмерный симплекс. Он живет, как уже говорилось, в нулевом измерении. Две точки определяют отрезок — одномерный симплекс. Измерение — первое. Третья точка превращает линию в треугольник — двумерный симплекс. Еще точка — и вот перед нами пирамида. Это уже простейшее из всех трехмерных тел — трехмерный симплекс. Но вот добавлена пятая точка. Эта необычная конструкция состоит из пяти пирамид. Все вместе они отделяют четырехмерный симплекс от остального четырехмерного пространства точно так же, как шесть граней куба отделяют его от остального трехмерного пространства, а три стороны треугольника ограничивают его на плоскости.

Но что дает нам уверенность, что гиперкуб или «старший» из симплексов не принадлежит к нашему трехмерному миру? Существует один простой тест, основанный на формуле, выведенной еще Леонардом Эйлером. Это удивительная формула. Она — истинно топологическая, потому что имеет дело не с размерами, углами или площа­дями, а лишь с числом вершин, ребер и сторон, или граней, любой геометрической фигуры. Вот она: Г + В = Р + 2.

То есть число граней (Г) плюс число вершин (В) равно числу ребер (Р) плюс 2. Проверьте правильность этой формулы на какой угодно фигуре — кубе, пирамиде, тетраэдре, икосаэдре, произвольном многограннике, теле самой замысловатой формы. При любых деформациях любой из них формула Эйлера верна.

Но возьмите гиперкуб. 24 стороны, 16 вершин, 32 реб­ра и сверх того 8 трехмерных граней — вот то геометри­ческое богатство, которым он обладает. Простейшие арифметические действия убедят вас, что гиперкуб пришел к нам в гости из сложнейшего четырехмерного мира, для него несправедлива формула Эйлера.

Итак, знакомство состоялось. Так и хочется задать «четырехмерцам» традиционный вопрос: «Ну как там?» Но гиперкуб молчит всеми своими восьмьюдесятью элементами, симплекс тоже безмолвствует, и нам остается лишь еще раз прибегнуть к испытанному приему — разбежаться перед прыжком: раз надо исследовать свойства четвертого измерения — отступим пока во второе.

«ГОРАЗДО ЛЕГЧЕ НАЙТИ ОШИБКУ, НЕЖЕЛИ ИСТИНУ»,— писал великий Гете. В 1884 году Эдвин Аббот издал книгу, где универсальная справедливость этих слов доказывалась с наглядностью геометрического построения. Книга его называлась «Флэтленд» — «Плосколяндия», и хотя она была чисто математической по содержанию, но вызвала много шума в разных кругах общества — автора упрекали даже в женоненавистничестве. И в самом деле, в воображаемой Плосколяндии — стране двух измерений — женщины были простейшей из фигур — прямой линией. Все остальные обитатели представляли собой различные многоугольники: рабочие и солдаты — треугольники, ремесленники — квадраты, джентльмены — пятиугольники, а священники были настолько многоугольными многоугольниками, что больше всего походили на круг. И вот в этот плоский, плоский, плоский мир является существо из третьего измерения — сфера. Квадрат (от его лица ведется рассказ) увидел перед собой священника, который вел себя самым противоестественным образом: он то раздувался, то сжимался. Сколько ни пыталась Сфера объяснить Квадрату, что все эти видимые им круги разного диаметра — это все она одна, когда проходит сквозь Плосколяндию вверх и вниз, он так и не смог вообразить себе трехмерную сферу, пронизывающую его двумерный мир.







Материалы

Яндекс.Метрика