«Начала» Евклида
Наконец, в самые последние годы это звучное греческое слово вновь замелькало в научных статьях: выяснилось, что структура кристаллического бора — идеальный икосаэдр. И даже вирусы, которые раньше так и назывались «сферическими» — например, вирус полиомиелита — и то, как удалось обнаружить, имеют форму икосаэдра. Но об этом — чуть позже.
«ЕВКЛИД ВОВСЕ И НЕ СОБИРАЛСЯ ВЫПУСКАТЬ СИСТЕМАТИЧЕСКИЙ УЧЕБНИК ГЕОМЕТРИИ. ОН ЗАДАЛСЯ ЦЕЛЬЮ НАПИСАТЬ СОЧИНЕНИЕ О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ, РАССЧИТАННОЕ НА НАЧИНАЮЩИХ, В СИЛУ ЧЕГО ЕМУ ПРИШЛОСЬ ИЗЛОЖИТЬ ВСЕ НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ» — шутка известного английского естествоиспытателя и геометра д'Арси Томпсона, как и всякая хорошая острота, содержит зерно истины. Ведь, согласно Проклу, Евклид считал венцом всех тринадцати книг своих «Начал» предложенные им способы построения пяти Платоновых тел — недаром он поместил их в последнюю, тринадцатую книгу. Строить, в его понимании, значило начертить, пользуясь только циркулем и линейкой.
Но прежде чем браться за правильные пространственные тела, Евклиду пришлось «изложить все необходимые сведения» о правильных плоских фигурах.
В первой книге «Начал» он учит, как строить правильный треугольник, а в четвертой — квадрат, пяти-, шести- и пятнадцатиугольник с равными сторонами и углами при вершине. Но вот правильный семиугольник ни Евклиду, ни его последователям построить не удалось, а пытались многие, потому что семиугольная звезда играла определенную роль в астрологии. Однако только в 1796 году Карл Фридрих Гаусс сумел выяснить, какие именно правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки, а какие — никогда. Ему было тогда всего 19 лет, и он готовился стать филологом. Открытая закономерность произвела на Гаусса такое сильное впечатление, что он не только забыл и думать о филологии, и не только с головой ушел в математику, но и всю жизнь, уже став великим ученым, гордился своим юношеским успехом. И геттингенцы поставили ему памятник, пьедесталом которому служит правильный 17-угольник.
Сограждане великого математика достойно почтили его память. Установленный Гауссом закон связывает между собой две самые могучие ветви математического древа — геометрию и теорию чисел. («Математика — царица наук, теория чисел — царица математики», — писал Гаусс). Закон этот гласит: циркулем и линейкой можно построить правильный га-угольник в том и только в том случае, если число его сторон га разлагается на простые множители, каждый из которых является так называемым «простым числом Ферма», и вдобавок множители эти не повторяются. (Единственное исключение — числа, кратные 2. Они могут, конечно, входить в состав множителей n — ведь ничего не стоит сколько угодно раз удвоить число сторон уже построенного многоугольника.)
«Простые числа Ферма» выражаются простой формулой, придуманной Ферма: 2*2 k +1. Вот первые пять таких чисел: 3, 5, 17, 257 и 65 537. Семерка не входит в их число, и потому астрологам придется самим строить свой символ.
- Материалы
Поцелуй по расчету
Поэма Содди
Задача о сферах
Многомерность
Гость из четвертого измерения
Четырехмерный симплекс
Возможности нового измерения
Эксперимент Цельнера
Геометрия - это интуиция
Ущербность нашего восприятия
Объем - в плоскость
Наш плоский объемный мир
Мебиусиана
Односторонность листа Мебиуса
Топология - из листа Мебиуса
Число Бетти
Хроматический номер
Справа, где сердце
Бутылка Клейна
Мебиус и микромир
Левый и Правый Мебиусы
Эксперимент By Цзянь-сюн
Двухкомпонентная теория нейтрино
Зеркальные двойники
Роль формы
Вселенная искривляется
Тензорный анализ
Теория Вселенной Эйнштейна
Пульс Вселенной
Великолепная пятерка
О божественной пропорции
«Начала» Евклида
Доказательство Эйлера
Символы Шлефли
Гамильтонова линия
Изопиранная задача
Интуиция царицы Дидоны
Как управляется мир
Серьезные игры
Искусство орнамента
Федоровские группы
Игры Эсхера
Симметрии Эсхера
Нефедоровская кристаллография
Мировая гармония
Удавшаяся провокация
«Колючий» ёж Кеплера
Фигура Петри
Теория многогранников
Правильные и почти правильные тела
Песок расширяется!
Кубическая плотная упаковка
Плотность упаковки
Дома на песке
Тайные связи
Музыка сфер
Подкупающая простота
Модели Дончияна
Полезные политопы
Организация пространства
Радость видеть и понимать
Теории Земли
Бейсбольный мяч планеты
Катенаны
Вечный Геометр