«Начала» Евклида
Наконец, в самые последние годы это звучное греческое слово вновь замелькало в научных статьях: выяснилось, что структура кристаллического бора — идеальный икосаэдр. И даже вирусы, которые раньше так и назывались «сферическими» — например, вирус полиомиелита — и то, как удалось обнаружить, имеют форму икосаэдра. Но об этом — чуть позже.
«ЕВКЛИД ВОВСЕ И НЕ СОБИРАЛСЯ ВЫПУСКАТЬ СИСТЕМАТИЧЕСКИЙ УЧЕБНИК ГЕОМЕТРИИ. ОН ЗАДАЛСЯ ЦЕЛЬЮ НАПИСАТЬ СОЧИНЕНИЕ О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ, РАССЧИТАННОЕ НА НАЧИНАЮЩИХ, В СИЛУ ЧЕГО ЕМУ ПРИШЛОСЬ ИЗЛОЖИТЬ ВСЕ НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ» — шутка известного английского естествоиспытателя и геометра д'Арси Томпсона, как и всякая хорошая острота, содержит зерно истины. Ведь, согласно Проклу, Евклид считал венцом всех тринадцати книг своих «Начал» предложенные им способы построения пяти Платоновых тел — недаром он поместил их в последнюю, тринадцатую книгу. Строить, в его понимании, значило начертить, пользуясь только циркулем и линейкой.
Но прежде чем браться за правильные пространственные тела, Евклиду пришлось «изложить все необходимые сведения» о правильных плоских фигурах.
В первой книге «Начал» он учит, как строить правильный треугольник, а в четвертой — квадрат, пяти-, шести- и пятнадцатиугольник с равными сторонами и углами при вершине. Но вот правильный семиугольник ни Евклиду, ни его последователям построить не удалось, а пытались многие, потому что семиугольная звезда играла определенную роль в астрологии. Однако только в 1796 году Карл Фридрих Гаусс сумел выяснить, какие именно правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки, а какие — никогда. Ему было тогда всего 19 лет, и он готовился стать филологом. Открытая закономерность произвела на Гаусса такое сильное впечатление, что он не только забыл и думать о филологии, и не только с головой ушел в математику, но и всю жизнь, уже став великим ученым, гордился своим юношеским успехом. И геттингенцы поставили ему памятник, пьедесталом которому служит правильный 17-угольник.
Сограждане великого математика достойно почтили его память. Установленный Гауссом закон связывает между собой две самые могучие ветви математического древа — геометрию и теорию чисел. («Математика — царица наук, теория чисел — царица математики», — писал Гаусс). Закон этот гласит: циркулем и линейкой можно построить правильный га-угольник в том и только в том случае, если число его сторон га разлагается на простые множители, каждый из которых является так называемым «простым числом Ферма», и вдобавок множители эти не повторяются. (Единственное исключение — числа, кратные 2. Они могут, конечно, входить в состав множителей n — ведь ничего не стоит сколько угодно раз удвоить число сторон уже построенного многоугольника.)
«Простые числа Ферма» выражаются простой формулой, придуманной Ферма: 2*2 k +1. Вот первые пять таких чисел: 3, 5, 17, 257 и 65 537. Семерка не входит в их число, и потому астрологам придется самим строить свой символ.