Искусственный интеллект. Современный подход

Представление неосведомленности: нечеткие множества и нечеткая логика

Теория нечетких множеств — это один из подходов к определению того, насколько хорошо некоторый объект подходит под расплывчатое описание. Например, рассмотрим высказывание: "Нат имеет стройную фигуру". Является ли это высказывание истинным, если Нат имеет рост примерно 180 см? Большинство людей затрудняются при выборе ответа "да" или "нет", предпочитая сказать "скорее всего". Обратите внимание на то, что этот вопрос не относится к сфере неопределенности знаний о внешнем мире — нам точно известен рост Ната. Проблема состоит в том, что лингвистическое выражение "стройный" не ссылается на четкую классификацию людей по признаку того, насколько стройной является его фигура. По этой причине Ж3 теория нечетких множеств вообще не является методом формирования неопределенных рассуждений. Вместо этого в теории нечетких множеств оценка стройности фигуры, Tall, рассматривается как нечеткий предикат и принимается предположение, что истинностное значение высказывания Tall (Nate) — это число от 0 до 1, а не просто значение true или false. Само название "нечеткое множество" исходит из интерпретации предиката как неявно определяющего множество его элементов — множество, не имеющее четких границ.
Нечеткая логика — это метод формирования рассуждений с помощью логических выражений, описывающих принадлежность элементов к нечетким множествам. Например, сложное высказывание Tall (Nate) л Heavy (Nate) с оценкой того, насколько стройным является Нат и насколько велик его вес, имеет нечеткое истинностное значение, которое является функцией истинностных значений его компонентов. Ниже приведены стандартные правила оценки нечеткой истинности Т сложного высказывания.

Поэтому нечеткая логика представляет собой систему с истинностной функциональностью, а этот факт становится причиной серьезных затруднений. Например, предположим, что Т{ Tall {Nate) ) =0 . 6 и T(Heavy(Nate) ) =0 .4. В таком случае получаем значение T{Tall{Nate) л T{Heavy{Nate) )=0.4, которое кажется обоснованным, но получаем также результат Т{Tall [Nate) л —iTall{Nate) )=0.4, который таковым не кажется. Безусловно, эта проблема возникает из-за того, что истинностно-функциональный подход не позволяет учитывать корреляции или антикорреляции между компонентами высказываний.
Нечеткое управление — это методология создания систем управления, в которых отображение между реальными входными данными и выходными параметрами представлено с помощью нечетких правил. Нечеткое управление оказалось очень успешным в таких коммерческих продуктах, как автоматические коробки передач, видеокамеры и электрические бритвы. Критики этого подхода утверждают, что такие приложения оказались успешными потому, что в них используются небольшие базы правил, логические выводы не формируют цепочки, а для повышения производительности системы может осуществляться настройка параметров (см., например, [434]). И действительно, тот факт, что правила функционирования этих систем реализованы с помощью нечетких операторов, может не быть ключевым фактором их успеха; секрет состоит в том, чтобы применялся лаконичный и интуитивно понятный способ задания гладко интерполируемой функции с реальными значениями.
Предпринимались также попытки предложить одну из трактовок нечеткой логики в терминах теории вероятностей. Одна из таких идей состоит в том, чтобы такие утверждения, как "Нат— стройный", рассматривались в качестве дискретных наблюдений, сделанных применительно к непрерывной скрытой переменной — фактическому росту, Height, Ната. В такой вероятностной модели определяется вероятность Р(Наблюдатель сообщает, что Нат — стройный| Height), возможно, с использованием пробит-распределения (см. с. 674). В таком случае появляется возможность рассчитать апостериорное распределение вероятностей значений роста Ната обычным образом, например, если эта модель входит в состав гибридной байесовской сети. Безусловно, такой подход не относится к категории истинностно-функциональных. Например, следующее условное распределение:
Р(Наблюдатель сообщает, что Нат имеет стройную фигуру и большой вес|Height,Weight)
допускает взаимодействия роста и веса в обоснованиях наблюдения. Таким образом, некто, имеющий рост примерно 245 см и вес 85 кг, с очень малой вероятностью будет назван "имеющим стройную фигуру и большой вес", даже несмотря на то, что человек, имеющий рост "245 см" рассматривается как "стройный", а вес "85 кг" принято считать "большим".
Нечетким предикатам может быть также дана вероятностная интерпретация в терминах случайных множеств, т.е. случайных переменных, возможными значениями которых являются множества объектов. Например, Tall — это случайное множество, возможными значениями которого являются множества людей. Вероятность Р( Tall=Si), где Бг — некоторое определенное множество людей, представляет собой вероятность того, что именно данное множество будет обозначено некоторым наблюдателем как "характеризующееся стройными фигурами". Таким образом, вероятность того, что "Нат имеет стройную фигуру", представляет собой сумму вероятностей для всех множеств, элементом которых является Нат.
Создается впечатление, что и подход на основе гибридных байесовских сетей, и подход с использованием случайных множеств охватывает многие аспекты нечеткости, не требуя учета степеней истинности. Тем не менее остается много нерешенных вопросов, касающихся правильного представления лингвистических наблюдений и непрерывных количеств, а этими вопросами пренебрегают большинство исследователей, не относящихся к сообществу специалистов по нечетким представлениям.
В этой главе описаны байесовские сети — тщательно разработанное представление для неопределенных знаний. Байесовские сети играют роль, примерно аналогичную той, которую выполняет пропозициональная логика применительно к определенным знаниям.
• Байесовская сеть — это ориентированный ациклический граф, вершины которого соответствуют случайным переменным; с каждой вершиной связано распределение условных вероятностей для этой вершины, если даны ее родительские вершины.
• Байесовские сети лежат в основе удобного способа представления отношений условной независимости в рассматриваемой проблемной области.
• Любая байесовская сеть задает полное совместное распределение; каждый элемент совместного распределения определяется как произведение соответствующих элементов в локальных условных распределениях. Байесовская сеть часто позволяет экспоненциально уменьшить размеры вероятностного представления по сравнению с полным совместным распределением.
• Многие условные распределения могут быть представлены компактно с помощью канонических семейств распределений. Целый ряд канонических распределений используется в гибридных байесовских сетях, которые включают и дискретные, и непрерывные переменные.
• Под вероятностным выводом в байесовских сетях подразумевается вычисление распределения вероятностей множества переменных запроса, если дано множество переменных свидетельства. Алгоритмы точного вероятностного вывода, такие как алгоритм устранения переменной, позволяют вычислять суммы произведений условных вероятностей настолько эффективно, насколько это возможно.
• В полидеревьях (односвязных сетях) точный вероятностный вывод требует времени, линейно зависящего от размера сети. А в общем случае проблема такого вывода неразрешима.
• Методы стохастической аппроксимации, такие как оценка веса с учетом правдоподобия и метод Монте-Карло на основе цепи Маркова, позволяют получить приемлемые оценки истинных апостериорных вероятностей в сети и способны справиться с гораздо более крупными сетями по сравнению с точными алгоритмами.
РЕЗЮМЕ
• Теория вероятностей может применяться в сочетании с идеями представления знаний, заимствованными из логики первого порядка, для создания очень мощных систем формирования рассуждений в условиях неопределенности. Реляционные модели вероятностей (Relational Probability Model — RPM) включают ограничения на средства представления, которые гарантируют получение полностью определенного распределения вероятностей, которое может быть выражено в виде эквивалентной байесовской сети.
• Был предложен целый ряд альтернативных систем для формирования рассуждений в условиях неопределенности. Вообще говоря, истинностно-фушащональные системы не очень хорошо подходят для таких рассуждений.