Атомарные события
Для понимания основ теории вероятностей полезно ознакомиться с понятием атомарного события. Атомарное событие представляет собой полную спецификацию состояния мира, в отношении которого знания агента являются неопределенными. Оно может рассматриваться как некоторое присваивание конкретных значений всем переменным, из которых состоит этот мир. Например, если мир пациента состоит только из булевых переменных Cavity и Toothache, то существует всего лишь четыре разных атомарных события3; одним из таких событий является высказывание Cavity-false л Toothache-true.
Атомарные события имеют некоторые важные свойства, описанные ниже.
• Они являются взаимно исключающими — фактически может иметь место, самое большее, одно такое событие. Например, не могут одновременно происходить такие события, как cavity л toothache и cavity л -toothache.
• Множество всех возможных атомарных событий является исчерпывающим — должно иметь место по меньшей мере одно из этих событий. Это означает, что дизъюнкция всех атомарных событий логически эквивалентна true.
• Из любого конкретного атомарного события следует истинность или ложность каждого высказывания, либо простого, либо сложного. В этом можно убедиться, используя стандартные определения семантики для логических связок (см. главу 7). Например, из атомарного события cavity А -toothache следует истинность высказывания cavity и ложность высказывания cavity => toothache.
• Любое высказывание логически эквивалентно дизъюнкции всех атомарных событий, из которых следует истинность этого высказывания. Например, высказывание cavity эквивалентно дизъюнкции атомарных событий cavity л toothache и cavity A -toothache.
Априорная вероятность
Безусловная, или априорная, вероятность, связанная с высказыванием а, представляет собой степень уверенности, относящуюся к этому высказыванию в отсутствии любой другой информации; она записывается как Р{а). Например, если априорная вероятность того, что у пациента в зубе имеется дупло, равна 0,1, то можно записать следующее:
Р {Cavity = true) = 0.1 или Р( cavity) = 0.1
Важно помнить, что вероятность Р(а) может использоваться, только если нет другой информации. Как только становится известной какая-то новая информация, мы должны проводить рассуждения с условной вероятностью высказывания а, в которой учитывается эта новая информация. Условные вероятности рассматриваются в следующем разделе.
Иногда приходится вести речь о вероятностях всех возможных значений случайной переменной. В этом случае используется такое выражение, как Р(Weather), которое обозначает вектор значений для вероятностей каждого отдельного состояния погоды. Таким образом, вместо того, чтобы записывать следующие четыре уравнения:
Р( Weather = sunny) = 0.7 Р{ Weather = rain) = 0.2 Р( Weather = cloudy) = 0.08 P( Weather = snow) = 0.02
можно просто применить такую запись:
Р( Weather) = ( 0.7,0.2,0.08,0.02 >
В этом выражении определено распределение априорных вероятностей для случайной переменной Weather.
Кроме того, такие выражения, как Р (Weather, Cavity), могут использоваться для обозначения вероятностей всех комбинаций значений множества случайных переменных4. В этом случае выражение Р (Weather, Cavity) можно представить с помощью таблицы вероятностей с размерами 4x2. Такая таблица называется совместным распределением вероятностей переменных Weather и Cavi ty.
Иногда возникает необходимость рассматривать полное множество случайных переменных, используемых для описания мира. Совместное распределение вероятностей, которое охватывает указанное полное множество, называется полным совместным распределением вероятностей. Например, если мир состоит только из переменных Cavity, Toothache и Weather, то полное совместное распределение определяется следующим выражением:
Р(Cavity,Toothache,Weather)
Это совместное распределение может быть представлено в виде таблицы с размерами 2x2x4, имеющей 16 элементов. Полное совместное распределение вероятностей задает вероятность каждого атомарного события и поэтому представляет собой полную спецификацию неопределенности знаний некоего лица о рассматриваемом мире. Как будет показано в разделе 13.4, с помощью полного совместного распределения можно получить ответ на любой запрос, касающийся вероятностных знаний.
Для непрерывных переменных возможность записать все распределение в виде таблицы просто исключена, поскольку количество значений бесконечно велико. Вместо этого обычно определяется вероятность, которую принимает случайная переменная при некотором значении х, в виде параметризованной функции от х. Например, допустим, что случайная переменная X обозначает прогноз максимальной температуры воздуха на завтра в Беркли. В таком случае следующее высказывание:
Р(Х = х) = С7[18,26] (х)
выражает уверенность в том, что значение X распределено равномерно между 18 и 26 градусами Цельсия. (Некоторые полезные непрерывные распределения описаны в приложении А.) Вероятностные распределения для непрерывных переменных называются функциями плотности вероятностей. Функции плотности отличаются по смыслу от дискретных распределений. Например, с использованием распределения температур, приведенного выше, можно найти, что Р(Х = 20 . 5) =[/[18, 26] (20 . 5) =0 .125/С. Это не означает, что имеется 12,5% шансов на то, что завтра максимальная температура будет точно равна 20,5 градуса; вероятность того, что это произойдет, разумеется, равна нулю. Формальный смысл приведенного выше выражения состоит в том, что вероятность пребывания значений температуры в небольшом регионе вокруг 20,5 градуса равна в этих пределах значению 0,125, деленному на ширину региона в градусах Цельсия:
lim Р(20.5 < X < 20.5 + dx)/dx = 0.125/С
dx->0
Некоторые авторы используют разные символы для дискретных распределений и функций плотности, а авторы данной книги в обоих случаях используют обозначение Р, поскольку путаница возникает редко и уравнения для обоих случаев обычно одинаковы. Следует учитывать, что вероятности обозначаются безразмерными числами, а функции плотности измеряются с помощью некоторой единицы, в данном примере в качестве такой единицы применяется единица измерения, обратная градусам Цельсия.