Фигура Петри
О двух других телах Кеплера — Пуансо — большом звездчатом додекаэдре и большом икосаэдре — тоже можно было бы сказать немало интересного. Но, может быть, лучше просто полюбоваться на них и подумать, ведь удивительное дело, почему и в этой паре, «увидев» одну фигуру, Иоганн Кеплер честь открытия второй оставил Луи Пуансо?
А теперь, для отдыха глаз и души, еще раз взгляните на гравюру Маурица Эсхера «Порядок и хаос». Вот что пишет о ней сам художник: «Звездчатый додекаэдр, символ математической красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей». Мы уже воспользовались одной из них — веревкой, когда говорили о головоломке сэра Уильяма Гамильтона. Тогда же нам понадобился, и сам додекаэдр, но только не звездчатый, а обыкновенный — мы позаимствовали его с другой гравюры того же автора — «Рептилии». Посмотрите на нее внимательно, и вам представится случай полюбоваться еще одной мозаикой, составленной на этот раз из одних крокодилов, поверх которой наложена обычная, шестигранная.
«В МИРЕ НЕТ МЕСТА ДЛЯ НЕКРАСИВОЙ МАТЕМАТИКИ», — считал Готфрид Харди, известный английский ученый. Обложку прекрасной книги Гарольда Скотта Макдональда Коксетера «Введение в геометрию» (ей тоже очень многим обязана эта «Рапсодия») украшает фигура, которую вычертил в 1932 году Джон Флайндерс Петри, сын великого египтолога и — что гораздо интереснее — один из очень немногих людей на земле, кто умел строить в своем воображении четырехмерные тела, подсчитывать в уме число их элементов и отчетливо представлять себе их взаимное расположение. Вычерченная им фигура, о которой идет речь, вполне земная, трехмерная, но и она была получена довольно непросто. Вписанный в сферу правильный икосаэдр спроецировали на эту сферу из ее центра. Все его ребра перешли в дуги большого круга, которые разбили сферу на множество сферических треугольников. (Дуги эти на плоскости изображаются эллипсами, в этом и была основная сложность вычерчивания «фигуры Петри»). Таким образом, правильный многогранник породил правильную сферическую мозаику — узор, покрывающий всю сферу, составленный из одинаковых фигур. (Центральные и периферийные треугольники выглядят разными только из-за того, что спроецированный на сферу икосаэдр пришлось спроецировать еще раз — на плоскость страницы этой книги, а при этом нельзя обойтись без искажений.)
- Материалы
Поцелуй по расчету
Поэма Содди
Задача о сферах
Многомерность
Гость из четвертого измерения
Четырехмерный симплекс
Возможности нового измерения
Эксперимент Цельнера
Геометрия - это интуиция
Ущербность нашего восприятия
Объем - в плоскость
Наш плоский объемный мир
Мебиусиана
Односторонность листа Мебиуса
Топология - из листа Мебиуса
Число Бетти
Хроматический номер
Справа, где сердце
Бутылка Клейна
Мебиус и микромир
Левый и Правый Мебиусы
Эксперимент By Цзянь-сюн
Двухкомпонентная теория нейтрино
Зеркальные двойники
Роль формы
Вселенная искривляется
Тензорный анализ
Теория Вселенной Эйнштейна
Пульс Вселенной
Великолепная пятерка
О божественной пропорции
«Начала» Евклида
Доказательство Эйлера
Символы Шлефли
Гамильтонова линия
Изопиранная задача
Интуиция царицы Дидоны
Как управляется мир
Серьезные игры
Искусство орнамента
Федоровские группы
Игры Эсхера
Симметрии Эсхера
Нефедоровская кристаллография
Мировая гармония
Удавшаяся провокация
«Колючий» ёж Кеплера
Фигура Петри
Теория многогранников
Правильные и почти правильные тела
Песок расширяется!
Кубическая плотная упаковка
Плотность упаковки
Дома на песке
Тайные связи
Музыка сфер
Подкупающая простота
Модели Дончияна
Полезные политопы
Организация пространства
Радость видеть и понимать
Теории Земли
Бейсбольный мяч планеты
Катенаны
Вечный Геометр
Цепь причин и следствий
Счастливый случай
Метод Монте-Карло
Вероятностные методы
Бросаем песчинку
Сходство схем
Задачи распространения тепла
Случайные траектории
Возможности равны
Случай в игре
Игры с таблицей
Новые осложнения
Хуже-лучше
Расшифровка кодов
Роль элемента случайности
Обучение и случайность
Обучение автоматов
«Школьная» схема обучения
Обучение — самообучение
Шаблон поведения
Уметь пользоваться памятью
Опыты И. П. Павлова
Условный рефлекс
Связь между нейронами
Носитель памяти
Механизм образования условного рефлекса
Механизм «вспоминания»
Структура нервной сети
Простой эксперимент
Проблема опознания
Что такое опознание
Зрительные образы
Персептрон
Различаемые образы
Что умеет персептрон
Свойства персептрона
Залог опознания образов
Роль случайности в эволюции
К чему приводят мутации
Естественный отбор
«Безжалостность» законов природы
Приспособление вида
Схема гомеостата
Идея Эшби
Усилитель отбора
Усилитель мыслительных способностей
Схема искусственного отбора
Самонастраивающиеся системы и случайность
Непохожесть систем
Критерий близости к совершенству
Самонастраивающиеся системы
Наладчик сложных систем
Метод компенсации
Как настроить
Устройство автомата
Держим точный размер
Анализ станка-автомата
Обратное воздействие
Способ Гаусса — Зейделя
Анализ настроек
Метод градиента
Метод случайной настройки
Метод случайного поиска
Программа случайного поиска
Схема случайного поиска
Самонастраивающаяся система
Источник неограниченных возможностей