Геометрия как Искусство

Геометрия - это интуиция

— определение Гельмгольца не претендует на строгость, но зато оно глубоко по мысли. «Вообразить геометрические отношения интуи­тивно, — считал он, — это значит выразить те следствия, которые встретятся в мире, где эти отношения имеют си­лу». Но вот что пишет немецкий философ Ганс Рейхенбах: «Пользуясь нашей геометрической интуицией, мы ограни­чены своим личным опытом: точками, линиями, площадя­ми, объемом и т. п. Более сложный опыт — это положе­ние точки на прямой или в объеме, пересечение линий в точке, расположение сферы в объеме. Наша интуиция имеет вообразительную функцию, связанную с нашим прошлым чувственным опытом — например, треугольник, нарисованный на стене, дорожный знак или часть орна­мента в виде треугольника. Но вместе с тем у нее есть и нормативная функция, которая не позволяет нам взгля­нуть на одну и ту же идею с разных сторон».

Вот простейший пример. Дана замкнутая кривая — круг или квадрат. Требуется чисто умозрительно, без ка­рандаша и бумаги, решить: можно ли соединить две точ­ки — одну внутри кривой, другую вне ее, но так, чтобы не пересечь замкнутой кривой.

Представив себе этот элементарный чертежик и не­много поразмыслив, мы уверенно утверждаем, что зада­ча невыполнима. Это сработала нормативная функция во­ображения. Дело в том, что наш «внутренний взор» несет в себе евклидову плоскость — лист бумаги. Конечно же, на листе не соединишь две точки, не перечеркнув кривую, охватывающую одну из них. Но кто говорил нам о типе поверхности, на которой предстоит решать задачу? А ес­ли это не плоскость, а, скажем, бублик или автомобиль­ная шина — все получается легко и просто.

Человек слишком привык к двумерному миру. Наша «вообразительная» интуиция тут никогда нас не подводит. Но как только дело доходит до пространственных пред­ставлений, она начинает хромать. Высоту дома оценить куда труднее, чем его длину или ширину. А сказать, как далеко находится самолет или облако, неподготовленный человек не может даже приблизительно. Третьей коор­динатой — не то что четвертой! — нам еще овладевать и овладевать.