«ГЕОМЕТРИЯ — ЭТО ИНТУИЦИЯ»
— определение Гельмгольца не претендует на строгость, но зато оно глубоко по мысли. «Вообразить геометрические отношения интуитивно, — считал он, — это значит выразить те следствия, которые встретятся в мире, где эти отношения имеют силу». Но вот что пишет немецкий философ Ганс Рейхенбах: «Пользуясь нашей геометрической интуицией, мы ограничены своим личным опытом: точками, линиями, площадями, объемом и т. п. Более сложный опыт — это положение точки на прямой или в объеме, пересечение линий в точке, расположение сферы в объеме. Наша интуиция имеет вообразительную функцию, связанную с нашим прошлым чувственным опытом — например, треугольник, нарисованный на стене, дорожный знак или часть орнамента в виде треугольника. Но вместе с тем у нее есть и нормативная функция, которая не позволяет нам взглянуть на одну и ту же идею с разных сторон».
Вот простейший пример. Дана замкнутая кривая — круг или квадрат. Требуется чисто умозрительно, без карандаша и бумаги, решить: можно ли соединить две точки — одну внутри кривой, другую вне ее, но так, чтобы не пересечь замкнутой кривой.
Представив себе этот элементарный чертежик и немного поразмыслив, мы уверенно утверждаем, что задача невыполнима. Это сработала нормативная функция воображения. Дело в том, что наш «внутренний взор» несет в себе евклидову плоскость — лист бумаги. Конечно же, на листе не соединишь две точки, не перечеркнув кривую, охватывающую одну из них. Но кто говорил нам о типе поверхности, на которой предстоит решать задачу? А если это не плоскость, а, скажем, бублик или автомобильная шина — все получается легко и просто.
Человек слишком привык к двумерному миру. Наша «вообразительная» интуиция тут никогда нас не подводит. Но как только дело доходит до пространственных представлений, она начинает хромать. Высоту дома оценить куда труднее, чем его длину или ширину. А сказать, как далеко находится самолет или облако, неподготовленный человек не может даже приблизительно. Третьей координатой — не то что четвертой! — нам еще овладевать и овладевать.
- Материалы
Поцелуй по расчету
Поэма Содди
Задача о сферах
Многомерность
Гость из четвертого измерения
Четырехмерный симплекс
Возможности нового измерения
Эксперимент Цельнера
Геометрия - это интуиция
Ущербность нашего восприятия
Объем - в плоскость
Наш плоский объемный мир
Мебиусиана
Односторонность листа Мебиуса
Топология - из листа Мебиуса
Число Бетти
Хроматический номер
Справа, где сердце
Бутылка Клейна
Мебиус и микромир
Левый и Правый Мебиусы
Эксперимент By Цзянь-сюн
Двухкомпонентная теория нейтрино
Зеркальные двойники
Роль формы
Вселенная искривляется
Тензорный анализ
Теория Вселенной Эйнштейна
Пульс Вселенной
Великолепная пятерка
О божественной пропорции
«Начала» Евклида
Доказательство Эйлера
Символы Шлефли
Гамильтонова линия
Изопиранная задача
Интуиция царицы Дидоны
Как управляется мир
Серьезные игры
Искусство орнамента
Федоровские группы
Игры Эсхера
Симметрии Эсхера
Нефедоровская кристаллография
Мировая гармония
Удавшаяся провокация
«Колючий» ёж Кеплера
Фигура Петри
Теория многогранников
Правильные и почти правильные тела
Песок расширяется!
Кубическая плотная упаковка
Плотность упаковки
Дома на песке
Тайные связи
Музыка сфер
Подкупающая простота
Модели Дончияна
Полезные политопы
Организация пространства
Радость видеть и понимать
Теории Земли
Бейсбольный мяч планеты
Катенаны
Вечный Геометр