skip to content

«Колючий» ёж Кеплера

«Я НЕДАВНО ВСТРЕТИЛ ЧЕЛОВЕКА, КОТОРЫЙ СКАЗАЛ МНЕ, ЧТО НЕ ВЕ­РИТ ДАЖЕ В СУЩЕСТВОВАНИЕ МИ­НУС ЕДИНИЦЫ, ТАК КАК ИЗ ЭТОГО СЛЕДУЕТ СУЩЕСТ­ВОВАНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ НЕЕ», — рассказывал Э. Ч. Титчмарш, современный английский историк математики. Подобная же история случилась и с кеплеровским звездчатым додекаэдром.

Открыв этот «колючий» многогранник, Кеплер так и назвал его «еж» и поместил в свою удивительную по фантастичности идей книгу «Мировая гармония», где ко­смогонические и астрономические вопросы решались с помощью соотношений, найденных в музыке и в формах правильных многогранников и многоугольников. Но уче­ные отказывались считать кеплеровского ежа много­гранником.

У этого упрямства была своя логика и своя предысто­рия. Столетиями математики не признавали за всякого рода звездами права называться многоугольниками из-за того, что стороны их пересекаются. А тут — геометри­ческое тело, гранями которого служат пятиконечные звезды, да еще вдобавок пересекающиеся! Какой же это многогранник?! Людвиг Шлефли, который был уже на­столько свободомыслен — все-таки XIX век! — что не из­гонял геометрическое тело из семейства многогранни­ков только за то, что его грани самопересекаются, тем не менее, оставался непреклонным, как только речь за­ходила про малый звездчатый додекаэдр. Довод его был прост — и весом: это кеплеровское животное не подчи­няется формуле Эйлера! Его колючки образованы две­надцатью гранями, тридцатью ребрами и двенадцатью вершинами и, следовательно, В+Г—Р вовсе не равняется двойке.

Шлефли был и прав, и не прав. Конечно же, геометрический ежик не настолько уж колюч, чтобы восстать против непогрешимой формулы. Надо только не считать, что он образован двенадцатью пересекающимися звездчатыми гранями, а взглянуть на него как на простое, честное геометрическое тело, составленное из 60 треугольников, имеющее 90 ребер и 32 вершины ( На каждой из двенадцати пятиугольных граней «обычного» до­декаэдра возводится по пирамиде, следовательно, всего граней ста­новится 5 X 12 = 60. Каждая пирамида добавит додекаэдру по пять ребер — всего их станет 30+(5*12)=90. И наконец, любая пира­мида увенчана вершиной, поэтому к двадцати вершинам додекаэдра добавится еще двенадцать, итого 32. Все это хорошо видно на гра­вюре «Силы гравитации»).

Тогда В + Г — Р = 32 + 60 — 90 равно, как и положено, 2. Но зато тогда к этому многограннику непримени­мо слово «правильный» — ведь грани его теперь не рав­носторонние, а всего лишь равнобедренные треуголь­ники.

Красоте малого зведчатого додекаэдра находится на удивление мало места в нашей жизни: он служит разве что светильником, да и то очень редко. Даже изготови­тели елочных украшений и то не додумались сделать трехмерную звезду, а ею как раз и оказался бы этот мно­гогранник.

И при том его еще и не надо было бы золотить — во всяком случае для геометров: золотое отношение, «бо­жественная пропорция» связывает любой «брусок» карка­са обычного додекаэдра с тем же «бруском», но продол­женным до точки встречи в вершине «колючки» кеплеровского ежа. Но Кеплер не додумался, что у получен­ной им фигуры есть двойник. Это увидел наш старый знакомый Август Фердинад Мебиус, а сам многогран­ник — он называется «большой додекаэдр» — построил французский геометр Луи Пуансо, спустя без малого две­сти лет после кеплеровских звездчатых фигур. Если эти две удивительно красивые фигуры расположить рядом, то станет видна их «взаимность».

 

Материалы

Поцелуй по расчету
Поэма Содди
Задача о сферах
Многомерность
Гость из четвертого измерения
Четырехмерный симплекс
Возможности нового измерения
Эксперимент Цельнера
Геометрия - это интуиция
Ущербность нашего восприятия
Объем - в плоскость
Наш плоский объемный мир
Мебиусиана
Односторонность листа Мебиуса
Топология - из листа Мебиуса
Число Бетти
Хроматический номер
Справа, где сердце
Бутылка Клейна
Мебиус и микромир
Левый и Правый Мебиусы
Эксперимент By Цзянь-сюн
Двухкомпонентная теория нейтрино
Зеркальные двойники
Роль формы
Вселенная искривляется
Тензорный анализ
Теория Вселенной Эйнштейна
Пульс Вселенной
Великолепная пятерка
О божественной пропорции
«Начала» Евклида
Доказательство Эйлера
Символы Шлефли
Гамильтонова линия
Изопиранная задача
Интуиция царицы Дидоны
Как управляется мир
Серьезные игры
Искусство орнамента
Федоровские группы
Игры Эсхера
Симметрии Эсхера
Нефедоровская кристаллография
Мировая гармония
Удавшаяся провокация
«Колючий» ёж Кеплера
Фигура Петри
Теория многогранников
Правильные и почти правильные тела
Песок расширяется!
Кубическая плотная упаковка
Плотность упаковки
Дома на песке
Тайные связи
Музыка сфер
Подкупающая простота
Модели Дончияна
Полезные политопы
Организация пространства
Радость видеть и понимать
Теории Земли
Бейсбольный мяч планеты
Катенаны
Вечный Геометр
Цепь причин и следствий
Счастливый случай
Метод Монте-Карло
Вероятностные методы
Бросаем песчинку
Сходство схем
Задачи распространения тепла
Случайные траектории
Возможности равны
Случай в игре
Игры с таблицей
Новые осложнения
Хуже-лучше
Расшифровка кодов
Роль элемента случайности
Обучение и случайность
Обучение автоматов
«Школьная» схема обучения
Обучение — самообучение
Шаблон поведения
Уметь пользоваться памятью
Опыты И. П. Павлова
Условный рефлекс
Связь между нейронами
Носитель памяти
Механизм образования условного рефлекса
Механизм «вспоминания»
Структура нервной сети
Простой эксперимент
Проблема опознания
Что такое опознание
Зрительные образы
Персептрон
Различаемые образы
Что умеет персептрон
Свойства персептрона
Залог опознания образов
Роль случайности в эволюции
К чему приводят мутации
Естественный отбор
«Безжалостность» законов природы
Приспособление вида
Схема гомеостата
Идея Эшби
Усилитель отбора
Усилитель мыслительных способностей
Схема искусственного отбора
Самонастраивающиеся системы и случайность
Непохожесть систем
Критерий близости к совершенству
Самонастраивающиеся системы
Наладчик сложных систем
Метод компенсации
Как настроить
Устройство автомата
Держим точный размер
Анализ станка-автомата
Обратное воздействие
Способ Гаусса — Зейделя
Анализ настроек
Метод градиента
Метод случайной настройки
Метод случайного поиска
Программа случайного поиска
Схема случайного поиска
Самонастраивающаяся система
Источник неограниченных возможностей

Hey.lt - Nemokamas lankytoju skaitliukas

Яндекс.Метрика