Многомерность
...По счастью, журнал «Нейчур», заложивший основы изучения геометрических поцелуев, известен своей серьезностью. Серьезностью даже в шутках. Напечатав стансы Содди о целующихся кругах и сферах, редакция посчитала, что вопрос освещен недостаточно фундаментально. И спустя полгода, в январском номере 1937 года, опубликовала еще один заключительный станс, принадлежащий перу некоего Форольда Госсета, обитавшего отнюдь не на Парнасе, но в Кембриджском университете. Это было одно из многих стихотворных произведений, присланных в редакцию с единственной целью: обобщить формулу Содди на случай n -мерного пространства, в котором целуются, естественно, n -мерные сферы — гиперсферы.
Чтобы вполне насладиться этим поэтическим шедевром, нам надо справиться с совсем простым делом: представить себе n -мерную сферу.
«КОГДА НЕМАТЕМАТИК СЛЫШИТ О ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ ВЕЩАХ, ЕГО ОХВАТЫВАЕТ СВЯЩЕННЫЙ ТРЕПЕТ, НЕЧТО СРОДНИ РЕЛИГИОЗНОМУ ЧУВСТВУ», — так говорил Альберт Эйнштейн. А Герман фон Гельмгольц считал, что представить себе четвертое измерение — все равно, что слепому от рождения вообразить краски. Заметьте, речь идет всего лишь о четвертом измерении. Что же тогда сказать о пятом, шестом, а то и вообще об n -м? И все-таки рискнем!
Впервые слова «n -мерное пространство» прозвучали в 1854 году в речи Бернгарда Римана при вступлении его на должность преподавателя Геттингенского университета. Она называлась «О гипотезах, образующих основания геометрии» и в самом деле провозглашала совсем новую, неожиданную и уж во всяком случае неевклидовую геометрию, названную впоследствии «римановой». Впрочем, и Евклид, создавая свою геометрию, возможно размышлял о «мере мира». «Точка — это то, что не имеет частей», — говорил он. Современный математик посчитал бы эти слова пусть примитивным, но довольно точным определением «объекта нулевого измерения». Точка, оставленная карандашом на бумаге, острие булавки или башенного шпиля — вот эти «объекты» в реальной жизни. Сфера нулевого измерения — это и есть точка.
Нить, проволока и любая иная линия — это уже одномерные предметы: у них есть длина. Сфера в пространстве одного измерения — это две точки на прямой: центр этой одномерной сферы лежит посередине между ними.