Интуиция царицы Дидоны

«НА РАЗНЫХ ЭТАПАХ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ ВПЛОТЬ ДО НАСТОЯЩЕГО ВРЕМЕНИ ГЕОМЕТРЫ ВОЗВРАЩА­ЛИСЬ К ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ И ОТ­КРЫВАЛИ В НЕЙ НОВЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФАК­ТЫ», — писал Лазарь Аронович Люстерник, член-коррес­пондент нашей Академии наук. Один из таких глубоких фактов и есть экстремальное свойство правильных мно­гогранников. Проблема эта уходит корнями в седую дре­вность.

...Финикийская царица Дидона отличалась невероят­ной прозорливостью — она предугадывала, что Марку Катону Старшему надо будет чем-то заканчивать каж­дую из своих речей в сенате, и ради этого решила осно­вать Карфаген. Кроме того, Дидона была еще жадной и тщеславной, поэтому ей хотелось, чтобы новый город занимал как можно больше места на земле. Но она же вдобавок обладала хитростью и поразительной геомет­рической интуицией — и только благодаря этому удался ее честолюбивый замысел. В обмен на ничтожные без­делушки Дидона выторговала у вождей племен, населяв­ших север Африки, право владеть «клочком земли, ко­торый покроет воловья шкура». Коварная финикийская царица и не думала класть шкуру на землю — нет, она разрезала ее на тонкие ремни, связала их вместе и этой длинной веревкой вознамерилась огородить свое буду­щее владение. И тут перед ней — впервые за всю чело­веческую историю — встала задача, которую много веков спустя назовут изопериметрической: какую форму долж­на иметь замкнутая линия, чтобы площадь, заключенная внутри нее, получилась наибольшей?

Догадалась ли Дидона, что искомая фигура — круг? Кто знает... Известно лишь, что легендарная царица и на этот раз сумела урвать лишний кусок — она выбрала свой участок на берегу моря, так что вся морская гра­ница досталась ей даром. За этой женщиной придется признать крупный геометрический талант: ведь изопериметрическая задача строго была решена лишь в прошлом веке швейцарским геометром Якобом Штейнером, а ее «карфагенский вариант» — с учетом того, что часть замк­нутой кривой представляет собой прямую линию «побе­режья», — и того позже.

Штейнер доказал — притом сразу пятью разными способами, — что именно круг охватывает самую боль­шую площадь при данной длине замкнутой линии. Вслед за этим удалось выяснить, что следующее слово за пра­вильными многоугольниками: они «выгоднее» любой другой фигуры с тем же числом сторон. Так была окон­чательно решена задача, которой, кроме легендарной Дидоны, занимались реальные ученые — например, Зенодор и Архимед.

Но тут же возникла новая: а какое пространственное тело может ограничить наибольший объем при той же поверхности? Или же — какую форму должна иметь наи­меньшая поверхность, заключающая в себе данный объ­ем? Ответ на оба вопроса почти очевиден: шар. Но что дальше? Кто следующий претендент на решение изопиранной (так она называется) задачи?

Да, правильные многогранники. Они обладают — среди всех прочих фигур с тем же числом граней — экс­тремальными свойствами. Это предположение тоже при­надлежит Штейнеру.

Но правильные многогранники разные: тетраэдр, ок­таэдр и икосаэдр составлены из треугольных граней, куб ограничен квадратами, додекаэдр — пятиугольниками. У тетраэдра — всего четыре грани, у куба — шесть, ок­таэдра — восемь, додекаэдра — двенадцать, а у икоса­эдра — все двадцать.

Значит, среди самих Платоновых тел существует кон­куренция? Да, и фаворит в ней «многосторонний» икоса­эдр. Вот его-то исключительностью среди всех пяти ге­роев нашего рассказа и воспользовались вирусы.







Материалы

Яндекс.Метрика