Интуиция царицы Дидоны
«НА РАЗНЫХ ЭТАПАХ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ ВПЛОТЬ ДО НАСТОЯЩЕГО ВРЕМЕНИ ГЕОМЕТРЫ ВОЗВРАЩАЛИСЬ К ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ И ОТКРЫВАЛИ В НЕЙ НОВЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФАКТЫ», — писал Лазарь Аронович Люстерник, член-корреспондент нашей Академии наук. Один из таких глубоких фактов и есть экстремальное свойство правильных многогранников. Проблема эта уходит корнями в седую древность.
...Финикийская царица Дидона отличалась невероятной прозорливостью — она предугадывала, что Марку Катону Старшему надо будет чем-то заканчивать каждую из своих речей в сенате, и ради этого решила основать Карфаген. Кроме того, Дидона была еще жадной и тщеславной, поэтому ей хотелось, чтобы новый город занимал как можно больше места на земле. Но она же вдобавок обладала хитростью и поразительной геометрической интуицией — и только благодаря этому удался ее честолюбивый замысел. В обмен на ничтожные безделушки Дидона выторговала у вождей племен, населявших север Африки, право владеть «клочком земли, который покроет воловья шкура». Коварная финикийская царица и не думала класть шкуру на землю — нет, она разрезала ее на тонкие ремни, связала их вместе и этой длинной веревкой вознамерилась огородить свое будущее владение. И тут перед ней — впервые за всю человеческую историю — встала задача, которую много веков спустя назовут изопериметрической: какую форму должна иметь замкнутая линия, чтобы площадь, заключенная внутри нее, получилась наибольшей?
Догадалась ли Дидона, что искомая фигура — круг? Кто знает... Известно лишь, что легендарная царица и на этот раз сумела урвать лишний кусок — она выбрала свой участок на берегу моря, так что вся морская граница досталась ей даром. За этой женщиной придется признать крупный геометрический талант: ведь изопериметрическая задача строго была решена лишь в прошлом веке швейцарским геометром Якобом Штейнером, а ее «карфагенский вариант» — с учетом того, что часть замкнутой кривой представляет собой прямую линию «побережья», — и того позже.
Штейнер доказал — притом сразу пятью разными способами, — что именно круг охватывает самую большую площадь при данной длине замкнутой линии. Вслед за этим удалось выяснить, что следующее слово за правильными многоугольниками: они «выгоднее» любой другой фигуры с тем же числом сторон. Так была окончательно решена задача, которой, кроме легендарной Дидоны, занимались реальные ученые — например, Зенодор и Архимед.
Но тут же возникла новая: а какое пространственное тело может ограничить наибольший объем при той же поверхности? Или же — какую форму должна иметь наименьшая поверхность, заключающая в себе данный объем? Ответ на оба вопроса почти очевиден: шар. Но что дальше? Кто следующий претендент на решение изопиранной (так она называется) задачи?
Да, правильные многогранники. Они обладают — среди всех прочих фигур с тем же числом граней — экстремальными свойствами. Это предположение тоже принадлежит Штейнеру.
Но правильные многогранники разные: тетраэдр, октаэдр и икосаэдр составлены из треугольных граней, куб ограничен квадратами, додекаэдр — пятиугольниками. У тетраэдра — всего четыре грани, у куба — шесть, октаэдра — восемь, додекаэдра — двенадцать, а у икосаэдра — все двадцать.
Значит, среди самих Платоновых тел существует конкуренция? Да, и фаворит в ней «многосторонний» икосаэдр. Вот его-то исключительностью среди всех пяти героев нашего рассказа и воспользовались вирусы.