Топология - из листа Мебиуса

«ТО, ЧТО Я ПОНЯЛ, ПРЕКРАСНО, ИЗ ЭТОГО Я ЗАКЛЮ­ЧАЮ, ЧТО ОСТАЛЬНОЕ, ЧЕГО Я НЕ ПОНЯЛ, ТОЖЕ ПРЕ­КРАСНО», — высказался в свое время Сократ по поводу неясностей у Гераклита. Быть может, эти слова послужат неким утешением для того, кто не сумеет одолеть суть радиотехнического дебюта листа Мебиуса. Хотя понять ее не так уж невозможно. Есть простой, но в данном слу­чае неприятный для радиотехников факт: каждое тело имеет форму и как-то располагается в пространстве. А потому оно ведет себя либо как маленький конденса­тор — обладает собственной электрической емкостью и, значит, оказывает переменному току емкостное сопро­тивление, либо поступает подобно крохотному дроссе­лю — тогда его сопротивление индуктивное. Оба этих со­противления, оказываемых телом электрическому току, называют реактивными. И избавиться от них, как и от то­го, что у него есть какая-то форма, ни одно тело как буд­то не может.

А теперь вспомним факт, в котором нам только что пришлось убедиться: «трижды толстый мебиус» можно сделать по-разному — и из трех отдельных частей и всего из двух: короткой центральной и особым образом уло­женной длинной заготовки, которая одна образует обе боковые стороны. Значит, ток в безреактивном сопротив­лении дважды проходит по одному и тому же месту в пространстве, но оба раза в противоположных направле­ниях, пробегая по длинной ленте — алюминиевым полос­кам, уложенным «восьмеркой» с двух сторон короткой — резинового изолятора. Таким образом, реактивность ре­активностью же и уничтожается. И потому такое закру­ченное сопротивление остается чисто активным, даже ес­ли изгибать его как угодно или помещать в любое внеш­нее поле.

Конечно, радиотехники должны быть особенно благо­дарны Августу Фердинанду Мебиусу — ведь им прихо­дится иметь дело с миллионами герц, а чем выше часто­та, тем больше «реактивность» каждого элемента схемы и тем больше помех вносят в ее работу нынешние «нечи­сто активные» сопротивления. Но, пожалуй, с еще боль­шим энтузиазмом встретят новое изобретение физики, которые занимаются сверхпроводимостью. Как известно, при очень низких температурах, близких к абсолютному нулю, сопротивление электрическому току вдруг пропадает, и он может течь неограниченно долго, не требуя ни­какого притока энергии извне. Да, но речь идет об актив­ном сопротивлении.

Реактивное же сопротивление сверхнизкой темпера­турой и всей невероятно сложной техникой, созданной для ее получения, не уничтожается. Зато простейшее геометрическое преобразование обещает физикам ско­рую и неожиданную помощь.

Быть может, мечта о вечном электрическом двигате­ле, не требующем никакой энергии для своей работы, те­перь уже близка к своему осуществлению?

Но до сих пор речь шла всего об одном свойстве ли­ста Мебиуса — о его односторонности. А ведь у него есть еще и другие подобные свойства. Но какие подобные? Математик назвал бы их топологическими.

Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мебиуса. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, кото­рый — и это далеко не всем известно — почти в то же время, что и его лейпцигский коллега, предложил в ка­честве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам единожды перекрученную ленту. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и рас­тягивать — делать с ней что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло — все ее свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые об­щие свойства фигур, которые не изменяются ни при ка­ких преобразованиях, если только не случается катастро­фы — «взрыва» фигуры. Потому иногда топологию назы­вают «геометрией непрерывности». Она известна и под именем «резиновая геометрия», потому что топологу ни­чего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его фор­му, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.







Материалы

Яндекс.Метрика