skip to content

Подкупающая простота

«ХОТЯ АНАЛОГИЯ ЧАСТО ВВОДИТ В ЗАБЛУЖДЕНИЕ, ЭТО НАИМЕНЬШЕЕ ИЗ ТОГО, ЧТО ВВОДИТ НАС В ЗАБ­ЛУЖДЕНИЕ», — писал Сэмюэл Батлер в книге «Музыка, картины и книги». Модели — это, конечно, лишь грубая аналогия. Но их несомненное достоинство — подкупаю­щая простота. Самую примитивную из самоделок, по­добных тем, что делала Алиса Стотт, может без труда изготовить любой — из подручных материалов, например из проволоки. Если рядом с тетраэдром — правильной пирамидой — расположить некую точку так, чтобы она находилась ото всех вершин пирамиды на расстоянии, равном ее ребру, то получится первый из наших полито­пов — правильный симплекс, речь о котором уже шла, когда мы делали первые свои шаги в четырехмерье. Его можно рассматривать пятью разными способами как пирамиду, у которой любая вершина играет роль «верх­ней», а остальные четыре определяют основание. Его проекция на плоскость представляет собой уже не раз встречавшийся нам правильный пятиугольник с вписанной в него пентаграммой — всем нам знакомой пяти­угольной звездой. Видно, что у симплекса пять вершин, десять ребер, десять «обычных» двумерных граней и пять трехмерных сверхграней — четырехгранных пирамид, слагающих его «тело». В вершине политопа — «верхней вершине» — встречаются три тетраэдра, то есть три трех­гранные ячейки, в вершинах которых сходятся по три треугольника. Потому и символ Шлефли выглядит одно­образно: {3, 3, 3}.

Другой аналог Платоновых тел — снова наш старый зна­комый гиперкуб, или «тессаракт», или «измерительный политоп». Как куб можно получить, перемещая квадрат по третьему измерению, так и сверхкуб образуется от движения обычного куба вдоль четвертого измерения. В его вершине назначают себе рандеву три обычных ку­ба, а потому его символ {4, 3, 3}.

Что же касается остальных четырех правильных по­литопов, то их представить себе еще сложнее. И в самом деле, попробуйте вообразить фигуру, в каждой верши­не которой встречаются четыре и даже пять тетраэдров — {3, 3, 4} и {3, 3, 5} или три до­декаэдра — {5, 3, 3}. Внима­тельный глаз обнаружит, глядя на символы Шлефли, что пер­вый из этих политопов взаимен гиперкубу, два последних — друг другу, а симплекс, как и слагаю­щие его тетраэдры, обойден по части взаимности: у него тут полное самообслуживание. Впрочем, эти соображения куда меньше помогут вообразить облик политопов, чем фото­графии моделей двух из них — правильного 120-ячей-ника, имеющего символ Шлефли {5, 3, 3}, и взаим­ного ему правильного 600-ячейника с символом, естественно, {3, 3, 5}. Модели эти представ­ляют собой трехмерные проекции четырехмерных тел и вместе с тем — чудо ювелирной точности и геометрической интуиции. На выставке «Столетие про­гресса» в Чикаго они постоянно собирали вокруг себя восхищенных посетителей. Сделал их Поль Дончиян, ар­мянин, родившийся в Америке. Его прадед был при­дворным золотых дел мастером у турецкого султана, и среди других его многочисленных родственников в раз­ных странах Востока многие тоже были умелыми ремесленниками. Сам Поль Дончиян до тридцати лет управлял завещанной отцом ковровой фабрикой, пока вдруг ему не начали сниться сны пророческого характера. Но Дон­чиян не сделался ни предсказателем, ни мистиком. Он решил изучить четвертое измерение, поскольку именно оттуда, по распространенному убеждению тех лет, и ве­щали духи. Задача была: свести все вопросы к самым простым, которые смог бы понять любой человек, не имеющий, как и он сам, никакого математического обра­зования.

 

Материалы

Поцелуй по расчету
Поэма Содди
Задача о сферах
Многомерность
Гость из четвертого измерения
Четырехмерный симплекс
Возможности нового измерения
Эксперимент Цельнера
Геометрия - это интуиция
Ущербность нашего восприятия
Объем - в плоскость
Наш плоский объемный мир
Мебиусиана
Односторонность листа Мебиуса
Топология - из листа Мебиуса
Число Бетти
Хроматический номер
Справа, где сердце
Бутылка Клейна
Мебиус и микромир
Левый и Правый Мебиусы
Эксперимент By Цзянь-сюн
Двухкомпонентная теория нейтрино
Зеркальные двойники
Роль формы
Вселенная искривляется
Тензорный анализ
Теория Вселенной Эйнштейна
Пульс Вселенной
Великолепная пятерка
О божественной пропорции
«Начала» Евклида
Доказательство Эйлера
Символы Шлефли
Гамильтонова линия
Изопиранная задача
Интуиция царицы Дидоны
Как управляется мир
Серьезные игры
Искусство орнамента
Федоровские группы
Игры Эсхера
Симметрии Эсхера
Нефедоровская кристаллография
Мировая гармония
Удавшаяся провокация
«Колючий» ёж Кеплера
Фигура Петри
Теория многогранников
Правильные и почти правильные тела
Песок расширяется!
Кубическая плотная упаковка
Плотность упаковки
Дома на песке
Тайные связи
Музыка сфер
Подкупающая простота
Модели Дончияна
Полезные политопы
Организация пространства
Радость видеть и понимать
Теории Земли
Бейсбольный мяч планеты
Катенаны
Вечный Геометр
Цепь причин и следствий
Счастливый случай
Метод Монте-Карло
Вероятностные методы
Бросаем песчинку
Сходство схем
Задачи распространения тепла
Случайные траектории
Возможности равны
Случай в игре
Игры с таблицей
Новые осложнения
Хуже-лучше
Расшифровка кодов
Роль элемента случайности
Обучение и случайность
Обучение автоматов
«Школьная» схема обучения
Обучение — самообучение
Шаблон поведения
Уметь пользоваться памятью
Опыты И. П. Павлова
Условный рефлекс
Связь между нейронами
Носитель памяти
Механизм образования условного рефлекса
Механизм «вспоминания»
Структура нервной сети
Простой эксперимент
Проблема опознания
Что такое опознание
Зрительные образы
Персептрон
Различаемые образы
Что умеет персептрон
Свойства персептрона
Залог опознания образов
Роль случайности в эволюции
К чему приводят мутации
Естественный отбор
«Безжалостность» законов природы
Приспособление вида
Схема гомеостата
Идея Эшби
Усилитель отбора
Усилитель мыслительных способностей
Схема искусственного отбора
Самонастраивающиеся системы и случайность
Непохожесть систем
Критерий близости к совершенству
Самонастраивающиеся системы
Наладчик сложных систем
Метод компенсации
Как настроить
Устройство автомата
Держим точный размер
Анализ станка-автомата
Обратное воздействие
Способ Гаусса — Зейделя
Анализ настроек
Метод градиента
Метод случайной настройки
Метод случайного поиска
Программа случайного поиска
Схема случайного поиска
Самонастраивающаяся система
Источник неограниченных возможностей

Hey.lt - Nemokamas lankytoju skaitliukas

Яндекс.Метрика