skip to content

Тайные связи

«ЕСТЬ ТАЙНЫЕ, ВЛАСТИТЕЛЬНЫЕ СВЯЗИ», — говорил по­эт. Связь между правильными многоугольниками, мозаи­ками и многогранниками слишком глубока, чтобы не быть явной, — они дети одной и той же математической идеи. Как плоскость можно покрыть некоторыми из правиль­ных многоугольников, так и пространство удается запол­нить Платоновыми телами. Случай с кубами тривиален. Но взгляните на гравюру Маурица Эсхера «Плоские чер­ви», которой он предпослал такие слова: «Строитель­ный кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипе­да, и это логично, потому что такие кирпичи соединять друг с другом проще всего. Но любой человек, любящий и понимающий красоту правильных тел, может пожалеть, что строители не используют другие формы. Например, тетраэдры, перемежающиеся с октаэдрами, могут скла­дываться один с другим не хуже традиционных кирпичей. Вот дом, построенный из комбинаций этих двух форм. Он не имеет ни вертикальных, ни горизонтальных поверх­ностей, ни полов, ни стен, ни потолка — в обычном пони­мании этих слов. Вот почему он весь внутри заполнен какой-то жидкой средой, в которой плавают существа, напоминающие плоских червей — планарий».

Эти плоские черви вновь возвращают нас к мозаи­кам — обитателям двумерного мира.

Евклидову плоскость можно покрыть квадратами так, чтобы в каждой вершине их сходилось по четыре, — это и будет мозаика {4,4}. Но стоит нам захотеть объединить квадраты таким образом, чтобы к каждой вершине при­легало лишь три из них, как фигура замкнется в прост­ранстве и мы получим куб {4,3}. Точно так же плоскость удается заполнить правильными треугольниками, собран­ными по шестеркам в каждой вершине, — мозаика {3, 6}. Но если надо, чтобы вершину окружало три, четыре или пять таких треугольников, то мы опять получим замкну­тые пространственные тела — уже знакомые нам тетра­эдр {3,3}, октаэдр {3,4} и икосаэдр {3,5}.

Размышляя об этих превращениях, мы постигаем про­стейшие понятия топологии. И вместе с тем становится ясным, насколько общи ее законы, насколько универса­лен характер изучаемых ею зависимостей.

Первым, кто увидел глубокую общность мозаик и многогранников, был Иоганн Кеплер. Именно он предло­жил рассматривать плоскость, заполненную прилегаю­щими друг к другу многоугольниками как выродивший­ся многогранник и потому смог применить к ним одну и ту же общую теорию.

Потом эта его мысль была продолжена в обе сторо­ны: жалкая многократно «надломленная» прямая линия стала выродившимся многоугольником, а многогранники превратились всего лишь в трехмерных представителей неких многомерных сверхтел — величественных «поли­топов», речь о которых впереди.

Что же касается великолепных сферических мозаик, то их положение в известном смысле промежуточное — от плоскости ушли, а к многогранникам не пришли. Но именно поэтому они оказались очень удобным инструментом для исследования пространственных фигур. Кроме того, благодаря своей броской красоте, они были изу­чены давно — первым их описывал известный на Восто­ке математик Абу-л-Ваф, живший в X веке. И в наши дни сферические мозаики притягивают к себе внимание ху­дожественных натур. Например, эсхеровские «Буковый шар», «Ангелы и дьяволы» и «Сфера с человеческими фигурами» — ювелирно вырезанные из дерева простран­ственные мозаики так хороши, что легко могут стать ис­точником вдохновения и фантазии.

И то и другое нам понадобится, когда речь пойдет о фигурах, живущих в четвертом и более высоких измере­ниях, — сверхмногогранниках.

 

Материалы

Поцелуй по расчету
Поэма Содди
Задача о сферах
Многомерность
Гость из четвертого измерения
Четырехмерный симплекс
Возможности нового измерения
Эксперимент Цельнера
Геометрия - это интуиция
Ущербность нашего восприятия
Объем - в плоскость
Наш плоский объемный мир
Мебиусиана
Односторонность листа Мебиуса
Топология - из листа Мебиуса
Число Бетти
Хроматический номер
Справа, где сердце
Бутылка Клейна
Мебиус и микромир
Левый и Правый Мебиусы
Эксперимент By Цзянь-сюн
Двухкомпонентная теория нейтрино
Зеркальные двойники
Роль формы
Вселенная искривляется
Тензорный анализ
Теория Вселенной Эйнштейна
Пульс Вселенной
Великолепная пятерка
О божественной пропорции
«Начала» Евклида
Доказательство Эйлера
Символы Шлефли
Гамильтонова линия
Изопиранная задача
Интуиция царицы Дидоны
Как управляется мир
Серьезные игры
Искусство орнамента
Федоровские группы
Игры Эсхера
Симметрии Эсхера
Нефедоровская кристаллография
Мировая гармония
Удавшаяся провокация
«Колючий» ёж Кеплера
Фигура Петри
Теория многогранников
Правильные и почти правильные тела
Песок расширяется!
Кубическая плотная упаковка
Плотность упаковки
Дома на песке
Тайные связи
Музыка сфер
Подкупающая простота
Модели Дончияна
Полезные политопы
Организация пространства
Радость видеть и понимать
Теории Земли
Бейсбольный мяч планеты
Катенаны
Вечный Геометр
Цепь причин и следствий
Счастливый случай
Метод Монте-Карло
Вероятностные методы
Бросаем песчинку
Сходство схем
Задачи распространения тепла
Случайные траектории
Возможности равны
Случай в игре
Игры с таблицей
Новые осложнения
Хуже-лучше
Расшифровка кодов
Роль элемента случайности
Обучение и случайность
Обучение автоматов
«Школьная» схема обучения
Обучение — самообучение
Шаблон поведения
Уметь пользоваться памятью
Опыты И. П. Павлова
Условный рефлекс
Связь между нейронами
Носитель памяти
Механизм образования условного рефлекса
Механизм «вспоминания»
Структура нервной сети
Простой эксперимент
Проблема опознания
Что такое опознание
Зрительные образы
Персептрон
Различаемые образы
Что умеет персептрон
Свойства персептрона
Залог опознания образов
Роль случайности в эволюции
К чему приводят мутации
Естественный отбор
«Безжалостность» законов природы
Приспособление вида
Схема гомеостата
Идея Эшби
Усилитель отбора
Усилитель мыслительных способностей
Схема искусственного отбора
Самонастраивающиеся системы и случайность
Непохожесть систем
Критерий близости к совершенству
Самонастраивающиеся системы
Наладчик сложных систем
Метод компенсации
Как настроить
Устройство автомата
Держим точный размер
Анализ станка-автомата
Обратное воздействие
Способ Гаусса — Зейделя
Анализ настроек
Метод градиента
Метод случайной настройки
Метод случайного поиска
Программа случайного поиска
Схема случайного поиска
Самонастраивающаяся система
Источник неограниченных возможностей

Hey.lt - Nemokamas lankytoju skaitliukas

Яндекс.Метрика