Теоретическое обоснование аксиом вероятностей
Аксиомы вероятностей могут рассматриваться как ограничивающие множество вероятностных убеждений, которых может придерживаться некоторый агент. Такой подход в определенной степени подобен логическому подходу, согласно которому, например, логический агент не может одновременно быть уверенном в истинности высказываний А, В и -i (А л В). Тем не менее в вероятностном подходе возникает дополнительное усложнение. В логическом случае семантическое определение конъюнкции означает, что, по меньшей мере, одно из трех только что упомянутых убеждений должно быть ложным в этом мире, поэтому для любого агента неразумно было бы сохранять уверенность в истинности этих трех высказываний. Но в случае вероятностей, с другой стороны, утверждения относятся не непосредственно к самому миру, а к собственному состоянию знаний агента. В таком случае, почему агент не мог бы иметь приведенное ниже множество убеждений, которое явно нарушает аксиому 3?
Р(а) = 0.4
Р(а л Ь) = 0.0
Р(Ь) = 0.3
Р(а v Ь) = 0.8 (13.3)
Такого рода вопрос был предметом яростных дебатов, продолжавшихся в течение нескольких десятилетий, между теми, кто отстаивал допустимость использования вероятностей как единственной обоснованной формы оценки степеней уверенности, и теми, кто отстаивал альтернативные подходы. В данном разделе мы приведем один довод в пользу аксиом вероятностей, впервые сформулированный в 1931 году в работах Бруно де Финетти (Bruno de Finetti).
Ключом к этому доводу де Финетти является связь между степенью уверенности и действиями. Идея состоит в том, что если агент имеет некоторую степень уверенности в истинности высказывания а, то агент должен быть способен сформулировать оценку того, в какой степени он безразличен к ставке за или против высказывания а. Рассмотрим эту ситуацию как игру между двумя агентами: агент 1 утверждает "моя степень уверенности в истинности события а равна 0,4". Затем агент 2 вправе выбрать, будет ли он делать ставку за или против высказывания а, применяя суммы, которые совместимы с заявленной степенью уверенности. Это означает, что агент 2 может решить сделать ставку на то, что событие а произойдет, поставив 4 доллара против 6 долларов агента 1. С другой стороны, агент 2 может поставить 6 долларов против 4, что А не произойдет7. Если степень уверенности агента не точно отражает состояние мира, можно вполне рассчитывать на то, что в долговременной перспективе он будет проигрывать деньги агенту-противнику, убеждения которого более точно отражают состояние мира.
Но де Финетти доказал гораздо более сильное утверждение: если агент 1 руководствуется множеством степеней уверенности, которое нарушает аксиомы теории вероятностей, то существует такая комбинация ставок агента 2, которая гарантирует, что агент 1 будет терять деньги при каждой ставке. Поэтому, если вы придерживаетесь той идеи, что агент должен стремиться "ставить свои деньги на те события, вероятности которых выше", то должны также признать, что нерационально иметь такие убеждения, которые нарушают аксиомы вероятностей.
На первый взгляд может показаться, что эта игра со ставками довольно надумана. Например, что было бы, если один из агентов отказался бы делать ставки? Закончился бы на этом спор? Ответ на данный вопрос состоит в том, что эта игра со ставками представляет собой абстрактную модель для ситуации принятия решений, в которую любой агент неизбежно вовлечен в любой момент своего существования. Каждое действие (включая бездействие) — это своего рода ставка, а каждый результат может рассматриваться как положительное или отрицательное вознаграждение за эту ставку. Отказ делать ставку аналогичен решению предоставить все естественному течению событий.
Мы не будем доказывать представленную выше теорему де Финетти, а приведем один пример. Предположим, что агент 1 руководствуется множеством степеней уверенности, приведенным в уравнении 13.3. В табл. 13.1 показано, что если агент 2 решит делать ставки 4 доллара на событие а, 3 доллара — на событие Ь и 2 доллара на событие -п (a v Ь), то агент 1 будет всегда терять деньги, независимо от результатов а и Ь.
Таблица 13.1. Пример того, что при наличии у агента 1 несогласованных убеждений агент 2 получает возможности составить множество ставок, которое гарантирует потери для агента 1, независимо от результатов а и Ъ
В пользу применения вероятностей были выдвинуты и другие весомые философские аргументы; к числу наиболее широко известных из них относятся сформулированные Коксом [304] и Карнапом [225]. Но мир таков, каким он является, и практические свидетельства иногда становятся более весомыми, чем доказательства. Успех систем формирования рассуждений, основанных на теории вероятностей, оказался гораздо более привлекательным стимулом, который вызвал пересмотр многих взглядов. В следующем разделе будет показано, как описанные выше аксиомы могут быть применены для составления логических выводов.