Области применения калмановской фильтрации
Методы, основанные на использовании фильтров Калмана и их модификаций, применяются в самых различных приложениях. Одним из "классических" приложений является слежение за самолетами и ракетами с помощью радаров. К такому же типу относятся приложения, в которых осуществляется слежение за подводными лодками и наземными транспортными средствами по звуку, а также визуальное слежение за транспортными средствами и людьми. К немного более узким областям применения относится использование фильтров Калмана для реконструкции траектории частиц по фотографиям, сделанным в пузырьковой камере, и океанских течений по данным измерений, выполненных на поверхности океана со спутников. Но спектр таких приложений далеко выходит за пределы простого отслеживания движений — к ним относится любая система, характеризующаяся непрерывными переменными состояния и зашумленными результатами измерений. К числу подобных систем относятся целлюлозные фабрики, химические установки, ядерные реакторы, экосистемы растений и национальные экономики.
Тот факт, что калмановская фильтрация может применяться к некоторой системе, не означает, что результаты этого будут действительными или полезными, поскольку используемые при этом допущения (о том, что модели перехода и модели восприятия относятся к типу линейных гауссовых) являются очень строгими. В расширенном фильтре Калмана (Extended Kalman Filter — EKF) предпринимается попытка преодолеть нелинейности моделируемой системы. Система является нелинейной, если ее модель перехода нельзя описать с помощью матричного умножения векторов состояния, как в уравнении 15.19. Фильтр EKF действует посредством моделирования системы как локально линейной в области xt=jit, т.е. в той области, где переменные xt равны среднему текущего распределения вероятностей состояний. Этот фильтр хорошо действует применительно к гладким системам с устойчивым поведением и позволяет программе слежения сопровождать и обновлять гауссово распределение вероятностей состояния, которое является приемлемой аппроксимацией истинной апостериорной вероятности.
А что подразумевается под системой, которая "не является гладкой" или "поведение которой неустойчиво"? Формально под этим подразумевается, что отклик системы в области, "близкой" (согласно ковариации St) к текущему среднему \it, показывает существенную нелинейность. Чтобы понять суть этого описания неформально, рассмотрим пример слежения за птицей, которая летит через джунгли. Иногда создается впечатление, что птица направляется на высокой скорости прямо на ствол дерева. Фильтр Калмана (обычный или расширенный) позволяет получить только гауссово предсказание местонахождения птицы, притом что среднее соответствующего гауссова распределения будет находиться напротив центра ствола, как показано на рис. 15.8, а. Но более приемлемая модель полета птицы, с другой стороны, должна предсказывать ее действия по уклонению от удара об ствол путем поворота в одну сторону или в другую, как показано на рис. 15.8, б. Такая модель является в высшей степени нелинейной, поскольку птица принимает решение по уклонению от удара внезапно, в зависимости от того, где именно она находится по отношению к стволу.
Очевидно, что для работы с примерами, подобными этому, требуется более выразительный язык представления поведения моделируемой системы. В сообществе специалистов по теории управления, для которых в таких задачах, как маневры самолета по предотвращению столкновения, возникают аналогичные сложности, разработан стандартный подход — переключательные фильтры Калмана. В этом подходе предусмотрена одновременная эксплуатация нескольких фильтров Калмана, в каждом из которых используются разные модели систем, например, в одном из них моделируется прямой полет, в другом — резкий поворот налево, а в третьем — резкий поворот направо. При этом используется взвешенная сумма предсказаний, где вес зависит от того, насколько полно данные каждого фильтра совпадают с текущими данными. Как показано в следующем разделе, такой подход представляет собой частный случай общей модели динамической байесовской сети, созданной путем введения дискретной переменной состояния "маневра" в сеть.