Общая формула
Общую математическую формулу для стоимости информации получить несложно. Обычно предполагается, что информация — это полученное точное свидетельство, касающееся значения некоторой случайной переменной Ej, поэтому используется выражение стоимость полной информации (Value of Perfect Information — VPI)6. Обозначим текущие знания агента как Е. В таком случае стоимость текущего наилучшего действия а определяется с помощью соотношения
Но Е — это случайная переменная, значение которой в настоящее время неизвестно, поэтому необходимо выполнить усреднение по всем возможным значениям ejk переменной Ej, которые только могут быть обнаружены, с использованием текущих степеней уверенности в том, что эта переменная имеет данное значение. Поэтому стоимость обнаружения значения Ej при наличии текущей информации Е определяется следующим образом:
Для того чтобы сформировать определенное интуитивное представление о том, какой смысл имеет эта формула, рассмотрим простой случай, в котором имеются только два действия, Аг и А2, подлежащих выбору в процессе принятия решений. Текущими ожидаемыми полезностями этих действий являются иг и и2. Получение информации Ej приведет к определению каких-то новых значений ожидаемых полезностей c/i' и и2' для этих действий, но прежде чем будет получена информация Ej, уже будут существовать определенные распределения вероятностей по всем возможным значениям иг} и и21 (которые, согласно принятому предположению, являются независимыми).
Предположим, что действия А1 И А2 представляют собой прохождение по двум разным маршрутам через горную цепь зимой. В действии А1 предусмотрен проезд по удобному прямому пути через невысокий перевал, а в действии А2 — проезд по извилистой грунтовой дороге через вершину. Даже если дана только эта информация,
очевидно, что предпочтительным является действие Аъ поскольку весьма вероятно, что второй маршрут может быть заблокирован из-за лавин, и вместе с тем весьма маловероятно, что первый маршрут заблокирован из-за интенсивного трафика. Поэтому очевидно, что полезность иг выше по сравнению с и2. Но возможно, что результаты наблюдений со спутника Ej? касающиеся фактического состояния каждой дороги, приведут к получению новых оценок двух путей через горный хребет, иг 1 и и2'. Распределения вероятностей для исходных ожиданий показаны на рис. 16.7, а. Очевидно, что в этом случае нет смысла оплачивать получение данных со спутника, поскольку маловероятно, что полученная с их помощью информация приведет к изменению плана. Если получение новой информации не приводит к каким-либо изменением, то она не имеет реальной стоимости.
А теперь предположим, что необходимо выбрать одну из двух извилистых грунтовых дорог, имеющих немного разную длину, для того чтобы вывезти за перевал пациента с серьезной травмой. В таком случае, даже если полезности иг и и2 достаточно близки, распределения вероятностей иг' и и21 являются очень широкими. Существует значительная вероятность того, что второй маршрут окажется свободным, а первый — заблокированным, и в этом случае разность между полезностями будет очень большой. Формула VPI показывает, что в данном случае вполне оправдано получение отчета со спутника. Подобная ситуация показана на рис. 16.7, б.
Далее, предположим, что осуществляется выбор между двумя фунтовыми дорогами летом, когда их блокировка из-за лавин является маловероятной. В этом случае отчеты со спутника могут показать, что одна дорога является более живописной, чем другая, из-за того, что вдоль нее расположены цветущие альпийские луга, или, возможно, немного более влажной из-за блуждающих потоков. Поэтому весьма вероятно, что турист, путешествующий через горы, изменил бы свой план, если бы имел подобную информацию. Но и в таком случае разница в значениях между двумя маршрутами все еще, по-видимому, остается очень небольшой, поэтому нет смысла тратить лишние усилия на получение отчетов со спутника. Такая ситуация показана на рис. 16.7, в.
Подводя итог, можно сказать, что стоимость информации определяется той степенью, в которой она может вызвать изменение плана, а также той степенью, в какой новый план окажется значительно лучше по сравнению со старым.