УПРАЖНЕНИЯ
16.1. (Адаптировано из книги Дэвида Хекермана.) Это упражнение касается содержания игры Almanac Game (игра на знание фактов из справочника), которая используется аналитиками решений для калибровки числовых оценок. На каждый из приведенных ниже вопросов дайте наилучший предполагаемый вами ответ, т.е. число, которое, по вашему мнению, с такой же вероятностью является слишком большим, с какой оно может быть слишком малым. Кроме того, приведите вашу гипотезу с оценкой на уровне 25-й процентили, т.е. такое число, которое, по вашему мнению, имеет 25% шансов на то, чтобы быть слишком высоким, и 75% шансов на то, чтобы быть слишком низким. Приведите такое же значение и для 75-й процентили. (Таким образом, вы должны дать всего три оценки для каждого вопроса — низкую, среднюю и высокую.)
а) Количество пассажиров, которые совершали полеты между Нью-Йорком
и Лос-Анджелесом в 1989 году.
б) Население Варшавы в 1992 году.
в) Год, в который испанский конкистадор Коронадо открыл реку Миссисипи.
г) Количество голосов, полученных Джимми Картером во время президент-
ских выборов в 1976 году.
д) Возраст самого старого живого дерева по состоянию на 2002 год.
е) Высота плотины Гувера (Hoover Dam) в футах.
ж) Количество яиц, произведенных в штате Орегон в 1985 году.
з) Количество буддистов в мире в 1992 году.
и) Количество смертных случаев из-за СПИДа в Соединенных Штатах
в 1981 году.
к) Количество американских патентов, выданных в 1901 году.
Правильные ответы приведены после последнего упражнения этой главы. С точки зрения анализа решений интересно не то, насколько ваши средние предположения подошли к реальным ответам, но, скорее, то, насколько часто реальный ответ попал в установленные вами границы 25 и 75%. Если такая ситуация возникла примерно в половине случаев, то указанные вами границы были достаточно точными. Но если вы похожи на большинство людей, то проявите больше самоуверенности, чем следует, и более половины ответов выйдет за пределы этих границ. Постоянно практикуясь, вы сможете откалиб-ровать свои оценки, чтобы устанавливаемые пределы стали более реалистичными и тем самым приносили больше пользы при предоставлении информации для принятия решений. Попробуйте ответить на второй ряд вопросов и определите, достигнуты ли вами какие-либо улучшения.
а) Год рождения актрисы За За Габор (Zsa Zsa Gabor).
б) Максимальное расстояние от Марса до Солнца в милях.
в) Стоимость в долларах пшеницы, экспортированной из Соединенных
Штатов в 1992 году.
г) Количество тонн груза, обработанных в порту Гонолулу в 1991 году.
д) Ежегодный заработок в долларах губернатора Калифорнии в 1993 году.
е) Население Сан-Диего в 1990 году.
ж) Год, в который Роджер Уильяме основал г. Провиденс, штат Род-Айленд.
з) Высота горы Килиманджаро в футах.
и) Длина Бруклинского моста в футах.
к) Количество смертных случаев из-за автомобильных аварий в Соединенных Штатах в 1992 году.
16.2. Билеты в лотерее стоят 1 доллар. Существуют два возможных приза: выигрыш в 10 долларов с вероятностью 1/50 и выигрыш в 1 000 000 долларов с вероятностью 1/2 000 000. Какова ожидаемая денежная стоимость лотерейного билета? Когда решение по приобретению такого билета является рациональным (если оно вообще бывает таковым)? Дайте точный ответ — составьте уравнение, касающееся полезностей. Вы можете принять предположение, что ваш текущий капитал равен к долларов и что u{Sk) = 0. Вы можете также предподожить, что U(Sk+10) =10xu(Sk+1), но не должны принимать никаких предположений в отношении полезности U(Sk+1 000 000 ). Социологические исследования показывают, что люди с низкими доходами покупают несоответствующее их благосостоянию количество лотерейных билетов. Как вы считаете, связано ли это с тем, что они не умеют принимать рациональные решения, или с тем, что они руководствуются другой функцией полезности?
16.3. В 1738 году Даниил Бернулли исследовал санкт-петербургский парадокс, ко-
торый заключается в следующем. У вас есть возможность сыграть в игру, в ко-
торой подлинная монета подбрасывается повторно до тех пор, пока не выпа-
дет орлом вверх. Если орел впервые появится на n-м броске, вы выигрываете
2 п долларов.
а) Покажите, что ожидаемое денежное значение этой игры является беско-
нечно большим.
б) Сколько бы вы лично заплатили за участие в этой игре?
в) Бернулли разрешил кажущийся парадокс, связанный с нежеланием лю-
дей участвовать в этой игре, несмотря на ее привлекательность, выдвинув
предположение, что полезность денег измеряется логарифмической шка-
лой (т.е. и{ Sn) =alog2n+b, где Sn — денежное состояние, связанное с на-
личием п долларов). Какова ожидаемая полезность этой игры согласно
указанному предположению?
г) Каковая максимальная сумма, решение по уплате которой за участие в
этой игре было бы рациональным, при условии, что первоначальное со-
стояние рассматриваемого лица измеряется суммой к долларов?
16.4. Определите вашу собственную оценку полезности различных постепенно увеличивающихся сумм денег, выполнив ряд проверок предпочтения между некоторой определенной суммой мг и лотереей [р,м2; (1-р) ,0]. Выбирайте различные значения мг и м2 и варьируйте вероятность р до тех пор, пока для вас эти два варианта не станут безразличными. Нанесите полученную в результате функцию полезности на график.
16.5. (й) Напишите компьютерную программу для автоматизации процесса, описанного в упр. 16.4. Проверьте работу вашей программы на нескольких людях с разным собственным капиталом и различными политическими взглядами. Прокомментируйте результаты сравнения согласованности полученных данных как для отдельного лица, так и для разных лиц.
16.6. Какова стоимость микрошанса смерти для вас? Разработайте определенный протокол, позволяющий узнать это значение. Задавайте вопросы, основанные и на том, сколько вы готовы заплатить, чтобы избежать риска смерти, и на том, сколько вы готовы принять в качестве платы за то, чтобы вы взяли на себя этот риск.
16.7. Покажите, что если переменные х1 и х2 независимы по предпочтениям от переменной х3, а Х2 и х3 независимы по предпочтениям от хи то Х3 и хг независимы по предпочтениям от х2.
16.8. (И) В этом и двух следующих упражнениях завершается анализ задачи выбора площадки для размещения аэропорта, приведенной на рис. 16.5.
а) Приведите приемлемые данные об областях определения переменных,
вероятностях и полезностях для этой сети, при условии, что имеются три
возможных площадки.
б) Решите эту задачу принятия решений.
в) Что произойдет, если будут внедрены такие технологические усовершен-
ствования, что каждый самолет станет вырабатывать вдвое меньше шума?
г) А что произойдет, если требования по предотвращению шума станут в
три раза более значимыми?
д) Рассчитайте значение VPI для переменных вашей модели AirTraffic
(Интенсивность воздушного движения), Litigation (Возможности
урегулирования формальностей) и Construction (Условия строитель-
ства аэропорта).
16.9. Повторите упр. 16.8, используя представление "действие-полезность", показанное на рис. 16.6.
16.10. К какому элементу таблицы условных вероятностей является наиболее чувствительным значение полезности на любой из схем выбора площадки для аэропорта из упр. 16.8 и 16.9, если даны все доступные свидетельства?
16.11. (Адаптировано из [1191].) Покупатель подержанного автомобиля может принять решение выполнить различные проверки с разной стоимостью (например, постучать по шинам, показать автомобиль квалифицированному механику), а затем, в зависимости от результата этих проверок, принять решение о том, какой автомобиль следует купить. Предполагается, что покупатель принимает решение о покупке автомобиля ci, что он собирается провести самое большее одну проверку и что этой проверкой автомобиля сг является tl9 которая стоит 50 долларов.
Автомобиль может находиться в хорошем состоянии (качество д+) или в плохом состоянии (качество д~), а проверка может показать, в каком состоянии находится автомобиль. Автомобиль сх стоит 1500 долларов, а его рыночная стоимость равна 2000 долларов, если он находится в хорошем состоянии; если же нет, то потребуется ремонт стоимостью 700 долларов, чтобы привести его в хорошее состояние. Оценка покупателя состоит в том, что автомобиль сг имеет 70% шансов на то, чтобы оказаться в хорошем состоянии.
а) Нарисуйте сеть принятия решений, которая представляет данную задачу.
б) Вычислите ожидаемую чистую прибыль от покупки автомобиля cl5 если
не проводится проверка.
в) Проверки можно описать с помощью оценки вероятности того, пройдет
ли автомобиль или не пройдет данную конкретную проверку, позволяю-
щую определить, находится ли автомобиль в хорошем или плохом со-
стоянии. Имеется следующая информация:
P(pass(clf d) |g+(ci) ) = 0.8 P(pass(clf d) jg-(ci) ) = 0.35
Примените теорему Байеса для вычисления вероятности успешного прохождения (или не прохождения) автомобилем проверки и следовательно, вероятности того, что он находится в хорошем (или плохом) состоянии, с учетом каждого возможного результата проверки.
г) Рассчитайте оптимальные решения при условии прохождения или не
прохождения проверки, а также их ожидаемые полезности.
д) Рассчитайте стоимость информации о проверке и разработайте опти-
мальный условный план для покупателя.
16.12. Докажите, что стоимость информации является неотрицательной и независимой от последовательности восприятий, как утверждалось в разделе 16.6. Объясните, как может случиться, что после получения информации будет принято худшее решение, чем было бы до ее получения.
16.13. (И) Модифицируйте и дополните программы байесовской сети, приведенные в репозитарии кода, чтобы обеспечить создание и оценку сетей принятия решений, а также вычисление стоимости информации.
Ответы к упр. 16.1:
• первый ряд вопросов: 3 000 000, 1 600 000, 1541, 41 000 000, 4768, 221, 649 000 000, 295 000 000, 132, 25 546;
• второй ряд вопросов: 1917, 155 000 000, 4 500 000, 11 000 000, 120 000, 1 100 000, 1 636, 19 340, 1 595,41 710.