Полезность денег
Корни теории полезности скрываются в экономике, а экономика предоставляет одного очевидного кандидата для использования в качестве меры полезности — деньги (или, более конкретно, общий суммарный капитал агента). Почти универсальная способность денег к обмену на всевозможные товары и услуги подсказывает, что деньги играют важную роль в функциях полезности людей. (В действительности большинство людей рассматривают экономику как науку о деньгах, тогда как фактически по своему происхождению слово экономия относится к управлению хозяйством, а современное направление экономических исследований нацелено на обоснование рационального выбора.)
Если мы ограничим свое внимание только такими действиями, которые влияют на количество денег, имеющихся у агента, то, как правило, обнаружим, что при всех прочих равных условиях агент предпочитает иметь больше денег, а не меньше. Таким образом, можно утверждать, что агент проявляет склонность к монотонному предпочтению применительно к определенным суммам денег. Однако этого недостаточно, чтобы можно было использовать деньги в качестве значения функции полезности, поскольку в этом определении ничего не сказано о предпочтениях между лотереями, связанными с денежными ставками.
Представьте себе, что вы одержали победу над всеми соперниками в телевизионном игровом шоу, и ведущий предлагает вам выбор: забирайте свой приз в 1 ООО ООО долларов или сделайте на него ставку, бросив монету. Если выпадет орел, вы ничего не получите, а если выпадет решка, то получите 3 ООО ООО долларов. Если вы — такой же, как большинство людей, то откажетесь от этой ставки и положите в карман миллион. Является ли это решение нерациональным?
При условии, что вы уверены в подлинности этой монеты, ожидаемое денежное значение (Expected Monetary Value — EMV) этой ставки равно
1 1
2 (0 долларов) +2"(3 ООО ООО долларов) = 1 500 ООО долларов,
а значение ЕМУ взятия первоначального приза, безусловно, равно 1 ООО ООО долларов, т.е. меньше. Но такой расчет не обязательно означает, что принятие предложения сделать эту ставку является лучшим решением. Предположим, что мы используем запись Sn для обозначения состояния, соответствующего обладанию всей суммой п долларов, а ваши текущие накопления составляют к долл. В таком случае ожидаемые полезности двух действий, соответствующих принятию предложения сделать ставку (Accept) и отказу от него (Decline), выражаются следующими соотношениями:
1 1
EU(Accept) = 2"C7(Sk) + 2U(Sk+3 000 ооо)
EU(Decline) = U(Sk+i ooo ooo)
Чтобы определить, что делать, необходимо присвоить значения полезности результирующим состояниям. Полезность не является прямо пропорциональной денежному значению, поскольку полезность вашего первого миллиона (связанная с положительным изменением образа жизни) очень высока (по крайней мере, все так говорят), тогда как полезность еще одного миллиона гораздо меньше. Предположим, что присвоено значение полезности 5 текущему финансовому состоянию (Sk), 10 — состоянию Sk+3 ooo ооо и 8 — состоянию Sk+1 00о ооо- В таком случае рациональное действие должно состоять в том, чтобы отказаться от предложения сделать ставку, поскольку ожидаемая полезность его принятия равна только 7 .5 (меньше 8, что соответствует отказу от этого предложения). С другой стороны, предположим, что некто уже имеет 500 000 000 долларов на банковском счете (и, вполне можно предположить, участвует в игровых шоу только ради развлечения). В таком случае указанное предложение, по-видимому, является вполне приемлемым, так как дополнительная польза от появления 503-го миллиона, скорее всего, почти не отличается от той, которая соответствует получению 501-го миллиона.
В своем оригинальном исследовании фактически применяемых функций полезности Грейсон [589] обнаружил, что полезность денег почти точно пропорциональна логарифму их количества (предположение об этом впервые высказал Бернулли [111]; см. упр. 16.3). Одна конкретная кривая, относящаяся к данным о предпочтениях некоего мистера Берда, показана на рис. 16.2, а. Полученные Грейсоном данные о предпочтениях мистера Берда совместимы со следующей функцией полезности для диапазона от л=-15О ООО долларов до л=800 ООО долларов:
U(Sk+n) = -263.31 + 22.09 1од(л+150 ООО)
Не следует считать, что это — безусловно верная функция полезности для денежных значений, но создается впечатление, что большинство людей руководствуются функцией полезности, которая является вогнутой в области положительных значений денежных накоплений. Брать в долг обычно считается катастрофическим решением, но предпочтения между различными уровнями задолженности могут показывать обратное поведение по отношению к вогнутости, связанной с положительными денежными накоплениями. Например, если некто уже имеет долг 10 ООО ООО долларов, то вполне может принять предложение сделать ставку на подбрасывание подлинной монеты, с выигрышем в 10 ООО ООО долларов после выпадения орла и проигрышем в 20 ООО ООО долларов после выпадения решки2. Такое поведение соответствует S-образной кривой, показанной на рис. 16.2, б.
Если мы ограничим наше внимание положительной частью таких кривых, где уклон постепенно уменьшается, то для любой лотереи L полезность решения, при котором придется столкнуться с выбором в этой лотерее, меньше, чем полезность получения ожидаемого денежного значения в этой лотереи без всяких условий:
Это означает, что агенты с кривыми полезности такой формы избегают риска: они предпочитают надежное приобретение, пусть даже с меньшей отдачей по сравнению с ожидаемым денежным значением возможной ставки. С другой стороны, в "безнадежной" области с большими отрицательными накоплениями на рис. 16.2, б поведение характеризуется стремлением к риску. Сумма, приобретаемая агентом вместо лотереи, называется эквивалентом определенности лотереи. Исследования показали, что большинство людей предпочитают 400 долларов вместо ставки, розыгрыш которой позволяет получить в половине случаев 1000 долларов, а в другой половине случаев получить 0 долларов; это означает, что эквивалентом определенности для этой лотереи является 400 долларов. Разность между ожидаемым денежным значением лотереи и ее эквивалентом определенности называется страховой премией. Неприятие риска является основой индустрии страхования, поскольку такое поведение означает, что страховые премии становятся положительными. Люди предпочитают заплатить небольшую страховую премию, нежели делать ставку на всю стоимость своего дома против шанса потери его в огне. А с точки зрения страховой компании цена отдельного дома весьма мала по сравнению с общими резервами этой компании. Это означает, что кривая полезности страховщика в таком небольшом регионе остается приблизительно линейной и для этой компании ставка на стоимость дома против страховой премии является беспроигрышной.
Обратите внимание на то, что при небольших изменениях в уровне денежных накоплений по сравнению с текущими накоплениями почти любая кривая полезности должна быть приблизительно линейной. Агент, который руководствуется такой линейной кривой, называется нейтрально относящимся к риску. Поэтому в случае ставок на небольшие суммы предполагается соблюдение свойства нейтрального отношения к риску. В определенном смысле это свойство является обоснованием упрощенной процедуры, в которой применяются небольшие ставки для оценки вероятностей, а также обоснованием аксиом вероятностей.