РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вероятность объединения несовместимых событий равна сумме вероятностей отдельных событий; это означает, что P{E=e1vE=e2) =Р(Е=е1) + Р(Е=е2), где ег и е2 являются несовместимыми.
Вероятностная модель состоит из пространства выборок взаимоисключающих возможных результатов, наряду с вероятностной мерой для каждого результата. Например, в модели погоды на завтра результатами могут быть sunny (солнце), cloudy (облачность), rainy (дождь) и snowy (снег). Подмножество этих результатов представляет собой событие. Например, событие выпадения осадков — это подмножество {rainy, snowy}.
Для обозначения вектора значений <Р{Е=е1) ,..., Р{Е=еп) > используется терм Р (Е). Кроме того, P(eL) применяется как сокращенное обозначение дня р(Е= eL), а
Условная вероятность Р[В\А) определяется как Р[ВпА)/Р[А). Переменные А и в являются условно независимыми, если р (в | А) =р (В) (или, равным образом, если Р{А\В) =Р{А)). Непрерывные переменные имеют бесконечное количество значений, и если распределение вероятностей этих значений не характеризуется наличием пиковых значений в отдельных точках, то вероятность любого отдельно взятого значения равна 0. Поэтому определим функцию плотности вероятностей, которая также обозначается как р (X), но имеет немного иной смысл по сравнению с дискретной функцией вероятностей р[А). Функция плотности вероятностей Р{Х-с) определяется как отношение вероятности того, что X попадает в интервал вокруг с, к ширине этого интервала, измеряемая в пределе приближения ширины интервала к нулю:
Функция плотности должна быть неотрицательной при всех х и соответствовать следующему требованию:
Может быть также определена кумулятивная функция плотности вероятностей
F (X), которая представляет собой вероятность того, что некоторая случайная переменная меньше х:
Следует отметить, что функция плотности вероятностей измеряется в определенных единицах, а дискретная функция вероятностей является безразмерной. Например, если переменная X измеряется в секундах, то плотность измеряется в Гц (т.е. 1/с). Если X— точка в трехмерном пространстве, измеряемом в метрах, то плотность измеряется в 1/м3.
Одним из наиболее важных распределений вероятностей является гауссово распределение, известное также под названием нормального распределения. Гауссово распределение со средним \х и среднеквадратичным отклонением а (и поэтому с дисперсией а2) определяется следующей формулой:
где х— непрерывная переменная, изменяющаяся в пределах от -©о до +оо. Если среднее JLI=0 и дисперсия а2=1, то имеет место частный случай нормального распределения, называемый стандартным нормальным распределением. Если распределение задано на векторе х в пространстве с d измерениями, то оно представляет собой многомерное гауссово распределение:
При наличии одного измерения можно также определить функцию кумулятивного распределения F(x) как вероятность того, что случайная переменная будет меньше чем х. Для стандартного нормального распределения эта функция задается следующим образом:
В центральной предельной теореме утверждается, что среднее п случайных переменных приближается к нормальному распределению по мере того, как п стремится к бесконечности. Такому свойству подчиняется почти любая коллекция случайных переменных, при том условии, что значение дисперсии любого конечного подмножества переменных не доминирует над значениями дисперсии других конечных подмножеств.