ВЕКТОРЫ, МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
В математике сформулировано определение вектора как элемента векторного пространства, но мы будем использовать более конкретное определение: вектор — это упорядоченная последовательность значений. Например, в двухмерном пространстве могут быть определены такие векторы, как х=<3 , 4> и у=<0, 2>. В этом приложении соблюдаются обычные соглашения об обозначении в нем векторов с помощью полужирных символов, хотя некоторые авторы отмечают имена векторов с помощью стрелок или знаков надчеркивания: х или у. Элементы вектора обозначаются с помощью подстрочных индексов: z=
Двумя фундаментальными операциями над векторами являются векторное сложение и скалярное умножение. Векторное сложение х+у — это поэлементная сумма: х+у=<3+0,4+2>=<3,6>, а скалярное умножение — это операция умножения каждого элемента на некоторую константу: 5х=<5хЗ , 5х4>=<15, 2 0>.
Длина вектора обозначается как | х | и вычисляется путем извлечения квадратного корня из суммы квадратов элементов: |х| =J(32+А2) =5. Точечное произведение (называемое также скалярным произведением) двух векторов, ху, представляет собой сумму произведений соответствующих элементов; иными словами,
x-Y=Zi*iyi'
или в данном конкретном случае: х-у=3х0+4х2 = 8.
Векторы часто интерпретируются как направленные отрезки прямых (напоминающие стрелки) в n-мерном евклидовом пространстве. В таком случае операция сложения векторов эквивалентна совмещению конца одного вектора с началом другого, а точечное произведение х-у эквивалентно выражению | х | | у | cos9, где 9 — угол между х и у.
Матрица — это прямоугольный массив значений, упорядоченных по строкам и столбцам. Ниже показана матрица m с размерами 3x4.
Первый подстрочный индекс терма mi:j определяет строку, а второй — столбец. В языках программирования терм mi j часто записывается как m [ i, j ] или m [ i ] [ j ].
Сумма двух матриц определяется путем сложения соответствующих элементов, поэтому (m+n)i(j=mi(j+ni(j. (Если матрицы тип имеют разные размеры, то их сумма не определена.) Можно также определить операцию умножения матрицы на скаляр: (cm) i# j = cmi# j. Операция умножения матриц (получения произведения двух матриц) является более сложной. Произведение mn определено, только если m имеет размеры axb, an— размеры Ьхс (т.е. вторая матрица имеет количество строк, совпадающее с количеством столбцов первой матрицы); результатом является матрица с размерами ахс. Это означает, что операция умножения матриц не коммутативна — в общем случае mnnm. Если матрицы имеют приемлемые размеры, то результат их умножения являются следующим:
Единичная матрица I имеет элементы ii#j, равные 1, если i=j, и равные 0 в противном случае. Она обладает таким свойством, что ml = m при всех т. Транспозиция матрицы т, которая записывается как тт, образуется путем превращения строк в столбцы и наоборот, или, более формально, путем выполнения операции
Матрицы используются для решения систем линейных уравнений с помощью процедуры, называемой алгоритмом удаления элементов Гаусса-Джордана, который характеризуется показателем О (л4). Рассмотрим следующее множество уравнений, для которого можно найти решение в терминах х, у и z:
+2х + у - z - 8 -Зх - у + 2z = -11 -2х + у + 2z = -3
Эту систему уравнений можно представить в виде следующей матрицы:
Здесь строка х у z с не входит в состав матрицы; она служит лишь в качестве напоминания, к чему относится каждый столбец. Известно, что если обе стороны уравнения будут умножены на константу или если это уравнение будет сложено с другим уравнением, то полученное уравнение останется действительным. Метод удаления элементов Гаусса-Джордана действует по принципу повторного выполнения подобных операций таким образом, чтобы вначале была удалена первая переменная (х) из всех уравнений, кроме первого, а затем эти действия продолжались в форме удаления i-й переменной из всех уравнений, кроме i-ro, для всех i. Удалим х из второго уравнения, умножив первое уравнение на 3/2 и сложив его со вторым. В результате будет получена следующая матрица: