ФОРМИРОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
Сцена очень велика, а плоскость изображения весьма мала, поэтому требуется определенный способ фокусировки света на плоскости изображения. Такая операция может быть выполнена с помощью линзы или без нее. В любом случае наша основная задача состоит в том, чтобы определить геометрию происходящих преобразований и обеспечить возможность прогнозировать, где каждая точка сцены найдет свое представление на плоскости изображения.
Получение изображения без линз — камера-обскура
Простейший способ формирования изображения состоит в использовании камеры-обскуры, в конструкцию которой входит микроотверстие О в передней части ящика и плоскость изображения в задней части ящика (рис. 24.1). Мы будем использовать трехмерную систему координат с началом координат в точке О и рассматривать точку Рв сцене, имеющую координаты (X, у, Z). Точка р проектируется в точку Р' на плоскости изображения с координатами (х, у, z). Если f — расстояние от микроотверстия до плоскости изображения, то с помощью теоремы подобия треугольников можно получить следующие уравнения:
Эти уравнения определяют процесс формирования изображения, называемый перспективной проекцией. Заслуживает внимания то, что значение координаты Z находится в знаменателе, а это означает, что чем дальше объект, тем меньше его изображение. Кроме того, наличие знака "минус" означает, что изображение инвертировано, т.е. повернуто на 180° по сравнению с самой сценой.
При перспективной проекции параллельные линии сходятся в одной точке на горизонте (достаточно представить себе уходящие вдаль железнодорожные рельсы).
Рассмотрим, почему так должно быть. Линия в сцене, проходящая через точку {X0FY0,Z0) в направлении [Ufv,W)9 может быть описана как множество точек {Х0+Хи, Y0+Xv, Z0+XW) , где X изменяется в пределах от -оо до +©о. Проекция точки Рх от этой линии до плоскости изображения задается следующей формулой:
По мере того как X—>°° или А,—»-«>, эта формула принимает вид рто= {fU/W, fV/W), если ШО. Точку Роо называют Сточкой схода, связанной с семейством прямых линий с ориентацией ( и, V, W). Все линии, имеющие одну и ту же ориентацию, имеют и одинаковую точку схода.
Если объект имеет относительно небольшую глубину по сравнению с его расстоянием от камеры, появляется возможность аппроксимировать перспективную проекцию с помощью масштабированной ортогональной проекции. Идея такой операции состоит в следующем: если глубина z точек объекта изменяется в некоторых пределах z0±Az, где AzUz0, то коэффициент перспективного масштабирования f/z можно приближенно представить с помощью константы s=f/z0. Уравнения для проекции, которые связывают координаты сцены (X,Y,Z) с координатами плоскости изображения, принимают вид x=sX и y=sY. Следует отметить, что масштабированная ортогональная проекция представляет собой аппроксимацию, действительную только для таких частей сцены, которые не характеризуются значительными изменениями внутренней глубины; эта проекция должна использоваться только для исследования свойств "в малом", а не "в большом". В качестве примера, позволяющего убедиться в необходимости соблюдать осторожность, отметим, что при использовании ортогональной проекции параллельные линии остаются параллельными, а не сливаются в точке схода!