Физическая композиция
Идея о том, что один объект может составлять часть другого, для нас весьма привычна. Нос — это часть лица, Румыния — часть Европы, а данная глава — часть настоящей книги. Для указания на то, что одна вещь является частью другой, используется общее отношение PartOf. Объекты могут группироваться в иерархии PartOf, напоминающие иерархию Subset (подмножество), например, как показано ниже.
PartOfiBucharest,Romania) PartOfiRomania,EasternEurope) PartOf{EasternEurope, Europe) PartOf{Europe,Earth)
Отношение PartOf является транзитивным и рефлексивным, т.е. для него справедливы следующие высказывания:
PartOf{х,у) л PartOf(у,z) => PartOf(х,z) PartOf(x,х)
Поэтому можно сделать вывод, что PartOf {Bucharest, Earth).
Категории составных объектов часто характеризуются структурными отношениями между частями. Например, любое двуногое имеет две и только две ноги, прикрепленные к телу:
Bipedia) => 31lfl2,b Leg(li) л Ьед{12) л Body(b) л
PartOf{li, a) A PartOf(l2t а) л PartOf(b,а) л Attached(li,b) л Attached(12, b) л
1л.Ф12 л [Vl3 Leg(h) л PartOf (1Ъ, a) => (l3 = li v 1ъ = 12)]
Применяемая здесь система обозначения понятия "две и только две" является довольно громоздкой; мы были вынуждены указать, что ног две, что ноги не являются одинаковыми и что если кто-то из двуногих будет утверждать, что у него есть третья нога, она в конечном итоге окажется одной из его двух ног. В разделе 10.6 будет показано, что формальная система, называемая описательной логикой, позволяет проще представить ограничения типа "две и только две".
Для категорий может быть определено отношение PartPartition, аналогичное отношению Partition (см. упр. 10.6). Любой объект состоит из частей, принадлежащих к его категориям PartPartition, и может рассматриваться как получающий некоторые свойства от собственных частей. Например, масса составного объекта — это сумма масс его частей. Обратите внимание на то, что это утверждение не распространяется на категории, не имеющие массы, даже если эти категории состоят из элементов, обладающих массой.
Кроме того, целесообразно определить составные объекты, имеющие различимые части, но не имеющие конкретной структуры. Например, может потребоваться сформулировать утверждение: "Яблоки в этой сумке весят два килограмма". Может возникнуть соблазн приписать этот вес множеству яблок в сумке, но это было бы ошибкой, поскольку множество — это абстрактное математическое понятие, которое имеет элементы, но не имеет веса. Вместо этого необходимо ввести новое понятие, которое мы будем именовать совокупностью (BunchOf). Например, если три яблока обозначены как Apple±, Арр1е2 иАрр1е3, то выражение
BunchOf ({Applei, Apple2 , Apple3} )
обозначает составной объект, частями (а не элементами) которого являются три яблока. Затем эта совокупность может использоваться как обычный, хотя и не структурированный объект. Обратите внимание на то, что BunchOf {{х}) = х. Кроме того, BunchOf (Apples) — это составной объект, состоящий из всех яблок, но его не следует путать с объектом Apples — категорией или множеством всех яблок.
Определим понятие BunchOf в терминах отношения PartOf. Очевидно, что каждый элемент множества s — это часть объекта BunchOf is):
Vx х G s => PartOf (x, BunchOf (s) )
Более того, BunchOf(s) — это наименьший объект, удовлетворяющий данному условию. Иными словами, BunchOf(s) должен быть частью любого объекта, который включает все элементы множества s в качестве части:
Vy [Vx х G s => PartOf {x,у)} => PartOf(BunchOf(s) , y)
Эти аксиомы представляют собой пример общего метода, называемого логической минимизацией, с помощью которого любой объект может быть определен как наименьший объект, удовлетворяющий определенным условиям.