Сложные высказывания
Для формирования более сложных высказываний, как и в пропозициональном исчислении, могут использоваться логические связки. Семантика высказываний, сформированных с помощью логических связок, идентична семантике, которая рассматривается в пропозициональной логике. Ниже приведены четыре высказывания, которые являются истинными в модели, показанной на рис. 8.1, при использовании рассматриваемой намеченной интерпретации
Brother {LeftLeg(Richard) , John)
Brother(Richard,John) A Brother(John,Richard)
King(Richard) v King(John)
King( Richard) => King (John)
Кванторы
После определения логики, которая допускает использование объектов, становится вполне естественным стремление к созданию средств, позволяющих выражать свойства целых коллекций объектов, а не перебирать эти объекты по именам. Это позволяют сделать кванторы. Логика первого порядка включает два стандартных квантора, называемых кванторами всеобщности и существования.
Применение квантора всеобщности (V)
Напомним, с какими трудностями мы сталкивались в главе 7, пытаясь выразить общие правила в пропозициональной логике. С другой стороны, в логике первого порядка квинтэссенцией становятся такие правила, как: "В квадратах, соседних с тем квадратом, где находится вампус, чувствуется неприятный запах" и "Все короли являются людьми". Первое из этих правил будет рассматриваться в разделе 8.3, а второе правило, "Все короли являются людьми", записывается в логике первого порядка следующим образом:
Vx King(x) => Person (х)
5 Как правило, мы будем придерживаться такого соглашения об упорядочении параметров, что Р (х, у) интерпретируется как "х представляет собой Р от у".
Квантор V обычно произносится как "для всех ...". (Следует помнить, что перевернутая буква "А" обозначает "all" — все.) Таким образом, в этом высказывании утверждается следующее: "Для всех х, если х — король, то х — человек". Символ х называется переменной. В соответствии с общепринятым соглашением в качестве переменных применяются строчные буквы. Переменная сама является термом и как таковая может также служить параметром функции, например LeftLeg(х). Терм без переменных называется базовым термом.
Интуитивно ясно, что в высказывании Vx Р, где Р— любое логическое выражение, утверждается, что Р является истинным для каждого объекта х. Точнее, высказывание Vx Р истинно в данной модели при данной интерпретации, если выражение Р истинно при всех возможных расширенных интерпретациях, сформированных из данной интерпретации, где каждая расширенная интерпретация задает элемент проблемной области, на которую ссылается объект х
На первый взгляд такое определение может показаться сложным, но оно фактически представляет собой лишь формальное определение интуитивного смысла применения квантора всеобщности. Рассмотрим модель, показанную на рис. 8.1, и намеченную интерпретацию, которая ее сопровождает. Эту интерпретацию можно расширить следующими пятью способами:
х —> Ричард Львиное Сердце
х —> король Джон
х —> левая нога Ричарда
х —> левая нога Джона
х —> корона
Высказывание с квантором всеобщности Vx King(x) Person (х) является истинным при первоначальной интерпретации, если высказывание King(x) => Person (х) истинно в каждой из пяти расширенных интерпретаций. Это означает, что данное высказывание с квантором всеобщности эквивалентно утверждению об истинности следующих пяти высказываний:
Ричард Львиное Сердце — король => Ричард Львиное Сердце — человек
король Джон — король => король Джон — человек
левая нога Ричарда — король => левая нога Ричарда — человек
левая нога Джона — король => левая нога Джона — человек
корона — король => корона — человек
Рассмотрим внимательно это множество утверждений. Поскольку в нашей модели единственным королем является король Джон, то во втором высказывании утверждается, что он — человек, как и следовало ожидать. А что же можно сказать об остальных четырех высказываниях, в частности о тех, в которых приведены утверждения о ногах и коронах? Являются ли они частью смысла утверждения "Все короли являются людьми"? Действительно, остальные четыре утверждения истинны в данной модели, но не позволяют ничего судить о том, можно ли считать людьми ноги, короны или даже Ричарда. Это связано с тем, что ни один из этих объектов не является королем. Рассматривая истинностную таблицу для связки => (см. табл. 7.1), можно убедиться в том, что импликация истинна, даже если ее предпосылка ложна, независимо от того, является ли истинным заключение. Таким образом, утверждая истинность высказывания с квантором всеобщности, что эквивалентно утверждению об истинности целого списка отдельных импликаций, мы в конечном итоге утверждаем об истинности правила, выраженного в виде этого высказывания, только для тех объектов, для которых предпосылка является истинной, и вообще ничего не говорим о тех объектах, для которых предпосылка ложна. Поэтому, как оказалось, записи истинностной таблицы, относящиеся к связке =>, являются идеальным способом формулировки общих правил с кванторами всеобщности.
Распространенная ошибка, которую часто допускают даже внимательные читатели, которые прочли предыдущий абзац несколько раз, состоит в том, что они используют конъюнкцию вместо импликации. Тогда следующее высказывание:
Vx King(x) л Person(х)
становится эквивалентным таким утверждениям:
Ричард Львиное Сердце — король л Ричард Львиное Сердце — человек
король Джон — король л король Джон — человек
левая нога Ричарда — король л левая нога Ричарда — человек
и т.д. Очевидно, что такой ряд утверждений не передает желаемый смысл. Применение квантора существования (3)
Квантор всеобщности позволяет формировать утверждения о каждом объекте. Аналогичным образом, мы можем формировать утверждение о некотором объекте во вселенной без его именования с помощью квантора существования. Например, чтобы выразить мысль, что на голову короля Джона возложена корона, можно записать следующее:
Зх Crown(x) A OnHead(x, John)
Квантор существования с переменной Зх читается как: "Существует х, такой, что ...", или "Для некоторого х...".
Интуитивно ясно, что в высказывании Зх Р утверждается, будто выражение Р истинно по меньшей мере для одного объекта х. Точнее, высказывание Зх Р истинно в данной конкретной модели при данной конкретной интерпретации, если выражение Р истинно по меньшей мере в одной расширенной интерпретации, в которой присваивается х одному из элементов проблемной области. В данном примере это означает, что должно быть истинным по меньшей мере одно из приведенных ниже утверждений.
Ричард Львиное Сердце — корона л Ричард Львиное Сердце находится
на голове Джона
король Джон — корона л король Джон находится на голове Джона левая нога Ричарда — корона л левая нога Ричарда находится
на голове Джона
левая нога Джона — корона л левая нога Джона находится на голове Джона корона — корона л корона находится на голове Джона
6 Применяется также определенный вариант квантора существования, обычно записываемый как З1 или 3!, который означает: "Существует только один...". Как будет показано в разделе 8.2, тот же смысл можно выразить с использованием утверждений, содержащих знак равенства.
В рассматриваемой модели истинно пятое утверждение, поэтому в ней является истинным само первоначальное утверждение с квантором существования. Обратите внимание на то, что в соответствии с приведенным выше определением квантора существования это высказывание будет также истинным и в такой модели, в которой на короля Джона возложены две короны. Такая ситуация является полностью совместимой с первоначальным высказыванием6: "На голову короля Джона возложена корона".
Итак, логическая связка => может рассматриваться как наиболее подходящая для использования с квантором V, а логическая связка л естественным образом подходит для использования с квантором 3. В примере, который рассматривался в предыдущем разделе, применение л в качестве основной связки в сочетании с квантором V приводило к формированию слишком сильного утверждения, а использование связки => в сочетании с квантором 3 обычно приводит к формированию действительно очень слабых утверждений. Рассмотрим следующее высказывание:
Зх Crown(x) => OnHead(x, John)
На первый взгляд может показаться, что в этом высказывании вполне успешно передана мысль о том, что на голову короля Джона возложена корона. Применяя соответствующее определение семантики, можно убедиться в том, что данное высказывание декларирует истинность по меньшей мере одного из следующих утверждений:
Ричард Львиное Сердце — корона => Ричард Львиное Сердце находится
на голове Джона
король Джон — корона король Джон находится на голове Джона левая нога Ричарда — корона => левая нога Ричарда находится
на голове Джона
и т.д. Итак, импликация истинна, если и предпосылка, и заключение являются истинными, или если ложна ее предпосылка. Поэтому, если Ричард Львиное Сердце — не корона, то первое утверждение истинно и выполняется высказывание с квантором существования. Таким образом, высказывание в форме импликации с квантором существования истинно в любой модели, содержащей объект, для которого предпосылка импликации является ложной, поэтому подобные высказывания фактически не несут почти никакой информации.