Вложенные кванторы
Часто возникает необходимость сформировать более сложные высказывания с использованием нескольких кванторов. Простейшим является случай, когда кванторы относятся к одному и тому же типу. Например, утверждение: "Братья — это люди, связанные братскими родственными узами", может быть записано следующим образом:
Vx Vy Brother {х, у) => Siblingix, у)
Последовательно применяемые кванторы могут быть записаны как один квантор с несколькими переменными. Например, чтобы выразить мысль о том, что родственные отношения между людьми, связанными братскими узами, являются симметричным, можно составить следующее высказывание:
Ух, у Siblingix, у) Siblingiy, х)
В других случаях возникает необходимость в использовании сочетания разных кванторов. Например, строка из песни "Everybody loves somebody" (Каждый кого-то любит) означает, что для каждого человека существует кто-то, кого этот человек любит:
Vx Зу Loves {х, у)
С другой стороны, чтобы сформулировать утверждение "Есть некто, кого любят все", можно записать следующее:
Vy Зх Loves {х, у)
Таким образом, порядок расположения кванторов очень важен. Он становится очевиднее после вставки круглых скобок. В высказывании Vx (Зу Loves(х,у) ) утверждается, что каждый имеет конкретное свойство, а именно то свойство, что его кто-то любит. С другой стороны, в высказывании Зх (Vy Loves (х, у) ) утверждается, что некто в мире имеет конкретное свойство, а именно свойство быть любимым всеми.
Если два квантора используются с одним и тем же именем переменной, может возникнуть некоторая путаница. Рассмотрим следующее высказывание:
Vx [Crown(x) v (Зх Brother{Richard,х))]
Здесь к переменной х в атомарном высказывании Brother (Richard, х) применяется квантор существования. Общее правило состоит в том, что переменная принадлежит к самому внутреннему квантору, в котором она упоминается; это означает, что такая переменная не может стать субъектом действия любого другого квантора7. Еще один способ анализа приведенного выше высказывания состоит в следующем: Зх Brother (Richard, х) — это высказывание о Ричарде (о том, что у него есть брат), а не о переменной х, поэтому размещение квантора Vx3a пределами данного высказывания не оказывает на него никакого действия, и оно могло быть равным образом записано как 3z Brother (Richard, z). Но поскольку такая ситуация может стать источником путаницы, в подобных обстоятельствах мы всегда будем использовать разные переменные.
Связь между кванторами V и 3
Кванторы V и 3 фактически тесно связаны друг с другом через отрицание. Утверждение о том, что никто не любит пастернак, равносильно утверждению о том, что не существует никого, кто бы его любил, и наоборот:
Vx Likes (х, Parsnips) эквивалентно высказыванию-.Зх Likes (х, Parsnips)
По такому же принципу может быть сформирована более сложная конструкция; например, выражение "Все любят мороженое" означает, что нет никого, кто не любил бы мороженое:
Vx Likes (х, Icecream) эквивалентно высказыванию-Зх -\Likes (х, IceCream)
Поскольку квантор V фактически определяет в универсуме объектов конъюнкцию, а квантор 3 определяет дизъюнкцию, нет ничего удивительного в том, что они подчиняются правилам де Моргана. Правила де Моргана для высказываний с кванторами и без кванторов приведены ниже.
Таким образом, в действительности нет необходимости иметь одновременно кванторы V и 3, так же как фактически не нужны обе связки л и v. Тем не менее удобство для чтения важнее, чем экономия выразительных средств, поэтому мы будем пользоваться обоими этими кванторами.
Равенство
В логике первого порядка предусмотрен еще один способ составления атомарных высказываний, отличный от использования предикатных символов и термов, как было описано выше. Для составления утверждений о том, что два терма ссылаются на один и тот же объект, может использоваться символ равенства. Например, следующее утверждение:
Father(John) = Henry
говорит о том, что объект, на который ссылается высказывание Father (John), и объект, указанный под именем Henry, представляет собой одно и то же. Поскольку в любой интерпретации за каждым термом закрепляется референт, т.е. объект, на который он ссылается, определение истинности любого высказывания с символом равенства сводится к проверке того, представляют ли собой референты двух термов, соединенных символом равенства, один и тот же объект.
Символ равенства может использоваться для констатации фактов, касающихся данной конкретной функции, как было только что сделано применительно к функциональному символу Father. Он может также применяться с отрицанием как указание на то, что два терма не представляют собой один и тот же объект. Чтобы выразить мысль о том, что Ричард имеет по меньшей мере двух братьев, можно записать следующее:
Зх,у Brother (х, Richard) л Brother (у, Richard) л -i(x = у)
С другой стороны, высказывание:
Зх,у Brother (х, Richard) л Brother (у, Richard)
не имеет такого намеченного смысла. В частности, оно истинно в модели, приведенной на рис. 8.1, где у Ричарда имеется только один брат. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим расширенную интерпретацию, в которой обеим переменным, х и у, присваивается объект— король Джон. Но в результате добавления выражения -i(x=y) такие модели становятся недействительными. В качестве сокращения для -1 (х-у) иногда используется обозначение хФу.