СИНТАКСИС И СЕМАНТИКА ЛОГИКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Начнем изложение темы этого раздела с более точного определения того способа, с помощью которого возможные миры логики первого порядка отражают ее онтологический вклад в познание объектов и отношений. Затем опишем различные элементы языка этой логики, в ходе этого объясняя их семантику.
Модели для логики первого порядка
Как было указано в главе 7, моделями для любого логического языка служат формальные структуры, из которых состоят возможные рассматриваемые миры. Модели для пропозициональной логики представляют собой множества истинностных значений для пропозициональных символов. Модели для логики первого порядка являются более интересными. Прежде всего, в них имеются объекты! Проблемной областью модели является множество объектов, которые она содержит; эти объекты иногда называют элементами проблемной области. На рис. 8.1 показана модель с пятью объектами: Ричард Львиное Сердце, король Англии, который правил с 1189 по 1199 годы; его младший брат, злой король Джон, который правил с 1199 по 1215; левые ноги Ричарда и Джона; корона.
Отношения между объектами в этой модели могут быть определены различными способами. На данном рисунке показано, что Ричард и Джон — братья. Выражаясь формально, отношение — это просто множество кортежей объектов, связанных друг с другом. (Кортеж — это коллекция объектов, расположенных в установленном порядке и записанных в угловых скобках, окружающих эти объекты.) Таким образом, отношение, обозначающее родство на уровне братьев в этой модели, представляет собой следующее множество:
{<Ричард Львиное Сердце, король Джон>,
<король Джон, Ричард Львиное Сердце>} (8.1)
(Здесь эти объекты были указаны на естественном языке, но читатель при желании может мысленно вставить вместо имен этих королей их портреты.) Корона находится на голове короля Джона, поэтому отношение "быть на голове" содержит только один кортеж, <корона, король Джон>. Отношения "быть братом" и "быть на голове" являются бинарными, т.е. они устанавливают связь между парами объектов. Кроме того, эта модель содержит унарные отношения, или свойства: свойство "быть человеком" является истинным и для Ричарда, и для Джона; свойство "быть королем" истинно только для Джона (предположительно потому, что к этому моменту Ричард уже был мертв); а свойство "быть короной" истинно только для короны.
Некоторые виды связей удобнее рассматривать как функции, в том смысле, что указанным образом данный конкретный объект должен быть связан только с одним объектом. Например, каждый человек имеет только одну левую ногу, поэтому в данной модели имеется унарная функция "быть левой ногой", которая включает следующие отображения:
Строго говоря, для модели в логике первого порядка требуются полностью определенные функции, т.е. функции, в которых должно быть предусмотрено значение для каждого входного кортежа. Таким образом, левую ногу должна иметь и корона, а также, безусловно, каждая из левых ног. Предусмотрено некоторое формальное решение этой неприятной проблемы, возникающей из-за того, что каждый объект, который в действительности не имеет левую ногу, включая саму левую ногу, в результате применения функции получает дополнительный "невидимый" объект, представляющий собой левую ногу. К счастью, при условии, что никто не будет составлять утверждений о левых ногах объектов, не имеющих левой ноги, применять эти формальные решения не обязательно.